当前课程知识点：线性系统理论 > 第十一周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：多项式矩阵描述 > LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述 > 视频
我们这里头给大家介绍一下 这个不可简约的PMD
那么我们在MFD的介绍当中
大家都知道我们有不可简约的MFD
那么对于一个PMD来说 一个多项式矩阵描述来说
它也存在着不可简约的概念
那么这个不可简约这个概念重要性在什么地方呐
我们接下来会看到 我们首先来看一下它的定义
就是说在什么条件下
我们说一个多项式矩阵的描述 它是不可简约的
我们给定PMD的参数矩阵 四个参数矩阵P Q R W以后
我们把这个多项式矩阵描述PMD称为是不可简约的
如果它满足就是PQ这两个多项式矩阵是左互质的
同时PR这两个多项式矩阵是右互质的
如果这两个条件同时成立
那我们就把这个PMD称为是不可简约的PMD
那么PMD重要性在哪呐
我们来看一看 首先它有一个基本的属性
就是同一个传递函数矩阵所对应的不可简约的PMD
可能不唯一 这里面我们来看看 为什么说它不唯一呐
首先我们对于一个给定的不可简约的PMD
比如说 P Q R W 如果我们引入两个单模变换阵
一个是U 一个是V 这两个多项式矩阵
我们把它引进来 引进来干什么事呐
我们对这个PMD而言 我们把它的P 做一下变化
我们把这个P变成是U*P*V 就是让这个P 左乘U 右乘V
这样得到一个新的P矩阵 对吧
然后我们让它的这个R矩阵变成了R乘以V
让它的Q矩阵变成了U乘以Q 然后W保持不变
大家看一看
这样我们通过一个给定的不可简约的PMD PQRW
我们就得到了通过引入两个单模变换阵U和V以后
我们就得到一个新的PMD
这个PMD它的P变成了UPV 它的Q变成了U乘以Q
然后它的R变成了R乘以V 那么W是一样的
这样变换以后的结果是什么呐
我们首先做一个基本的分析
我们求一下一个这样新的PMD
它的传递函数矩阵是什么
那这个传递函数矩阵按照定义应该是这个新的R
也就是R乘以U 乘上这个P逆 这个P相当于变成了UPV
整个求个逆 然后再乘上新的Q
新的Q不就是U乘以Q嘛 那我们乘上U乘上Q 再加上W
这个地方我给大家标注出来了
那么你看到这个红的这部分
就是这个V 实际上当我们把这个UPV 整个求逆
因为我们单模也是可逆的
这样的话 我们把这个逆矩阵给它分解开来
就把它变成了V逆乘以P逆乘以U逆 然后这个V和V逆就约掉了
然后这个蓝的U它的逆 和Q前面这个U就约掉了
这样的话 我们就会发现
我们通过看这个新的PMD 它的这个传递函数矩阵
结果发现算出来的结果
跟我们个给定的这个PQRW所对应的这个传递函数矩阵
算出来的结果是一样的
这就是说什么呐 就是保持这个传递函数矩阵不变的情况下
你从一个PMD不可简约的PMD出发
你对它做一个单模变换 就是引入这样的变换关系的话
你会发现它的这个传递函数矩阵是一样的
但是这个参数矩阵发生了变化
那么也就是说我们看到传递函数不变
然后允许有这样的自由度
那当然你U和V的选取 你可以是任意的
只要它都是单模阵 所以我们就会发现呐
其实对应于同一个传递函数矩阵
它的不可简约的PMD不是唯一的
这一点非常类似于我们以前熟悉的MFD
我们说一个MFD 它对应一个传递函数矩阵
如果我们知道这个传递函数矩阵
有一个不可简约的MFD跟它对应的话
我们也可以通过分子分母同时给它乘上同一个单模阵
得到完全不一样的这个不可简约的MFD
那我们知道这个U和V
这个单模阵乘到这里头去以后
不改变这个两个像PQ PR的这个互质性的
所以我们说呐
属于同一个传递函数矩阵的不可简约的PMD不是唯一的
而且不但不唯一 甚至有无穷多个
那我们再来看一下这个不可简约这个概念
对应于我们特殊的
比如说时域模型和频域模型MFD的话
具体的含义是什么
那么我们作为这个PMD的这个状态空间模型
我们前面讲过状态空间模型ABCD给出来以后呐
实际上它对应了一个PMD
相应的PMD就是sI-A B C D
那如果说这个状态空间模型
是按照PMD的定义是不可简约的
那么就意味着什么呐 就是这个sI-A和B
就是我们的PQ是左互质的 而这个sI-A和C是右互质的
而这个sI-A和B如果是左互质的话
其实它的这个等价的条件就是对于任意的s sI-A和B
这样组成的一个分块矩阵本身总是满秩的
这个秩总是等于n 这个n就是A的维数
也就是我们状态空间的维数
那么这对应的是PBH的能控性的秩判据 意味着什么呐
其实就是sI-A和B构成的这个状态空间模型
这个AB是状态完全能控的
那么同样的这个sI-A和C右互质这件事
它就意味着这个系统是完全能观的
这样的话我们就看到了
实际上我们对一个PMD 给它定义的这种不可简约性
对应于我们的状态空间这个里面的模型的话
它这种不可简约性
对应的就是即能控又能观这个概念的一个推广
在这个广义微分系统当中的一个推广形式
那么不可简约的PMD这个定义
实际上也跟我们定义这个频域里面的
MFD的不可简约性有内在的联系
这里面就是我们说
作为这个PMD的右MFD 就是D I N 0
也就是ND逆这个模型 它是不可简约的
如果说这个模型作为MFD本身是不可简约的
也就是ND逆是一个不可简约的MFD
那这里面怎么看这件事呐 这个等价性
事实上很容易 因为什么呐
我们定义不可简约的PMD的时候 要求这个PQ是互质的
而这里面P和Q分别是D和I 它当然是互质的
那么我们另外一方面也要求这个P和R是互质的
P和R互质就等价于D和N是右互质的
那么D和N右互质对应于ND逆这个MFD它的不可简约性条件
类似的 我们是作为PMD的左MFD
这个ABI0 这样一个PMD它是不可简约的
那么当且仅当A逆B作为一个左MFD来说
是一个不可简约的左MFD
也就是A和B是互质的
那么这样的话 我们也可以看到
就是我们在这个PMD当中所引入的这种不可简约性
其实也是MFD不可简约性向光以微分系统的一个推广
我们前面讲到这个不可简约性PMD的不可简约性
和状态空间的能控能观性这个概念
实际上在PMD这个大的框架底下其实得到了统一
就是统一为PMD的不可简约性
那么类似于我们前面碰到的情况
我们在时域里头可能碰到的
未必是即能控又能观的一个状态空间模型
我们在MFD里头也可能碰到是可简约的这个MFD
那么那两个地方我们都存在着
怎么样对这个模型进行化简的问题
那么这个化简的问题
现在我们也把它统一起来 就是对一个线性定常系统而言
如果得到的是一个它的PMD的模型
我选取了部分状态变量建立起来这个PMD模型
那么如果我这个PMD模型做一个检验
看它的不可简约条件的话
有可能我判断出来是不可简约的 也有可能是可简约的
这个时候我们就需要一种模型化简的方法
这个方法我们就称为可简约的PMD的化简步骤
对于一个给定的传递函数矩阵而言
那么我可以给它建立起来各种各样的PMD模型
那我们要求出其中比较简单的模型 怎么做
就是通过化简能够得到它的一个不可简约的PMD
这个基本的步骤是什么呐
实际上是分为以下4个步骤
那么我们第一个步骤是干什么呐
我们就求出这个P和Q的最大左公因子
我们把它记做T(s)
就是PQ这两个多项式矩阵我求它最大左公因子
那么这个最大左公因子有两种情况
一种情况就是这个最大左公因子本身就是一个单模阵
那这个情况说明PQ本身是互质的
我们其实不用做什么 我们取这个T是单位阵也可以
但是也有情况 就是PQ不是左互质的
这个时候我们求出来的这个最大左公因子T(s)
是一个非单模的一个多项式矩阵 但它是可逆的
因为我们在这个地方
一般来说 我们假设这个P是一个可逆的方阵
这个时候我们可以证明
PQ最大左公因子本身是一个可逆的矩阵
我们可以从这导出一个简化的新的PMD
就是利用这个T 我们干什么呐 我们就是做一个约分
我们就把这个T逆乘到P上去
然后T逆同样乘到Q上去 其他的R和Q保持不变
这样我就得到了一个新的PMD
就是T逆P T逆Q R和W
那么你就会问T逆P 这是两个
一个是多项式矩阵的逆乘上另外一个多项式矩阵
难道它乘出来一定能保证是多项式矩阵吗
那我们在这肯定是可以保证
因为我们知道我们这个T本身是P和Q的公因子
这样你求逆乘到P和Q上面去
乘出来的结果肯定还是多项式矩阵
再一步我们就针对这个新的PMD 我们进一步的要求谁呐
就是求新的P和R之间最大的右公因子
就是T逆P和R的最大右公因子 把它记做M
那么这个M也是有两种情况 M如果本身是单模阵
那说明这两个矩阵是互质的
那我们就不用进一步再做什么
但是如果它是非单模的
这个时候我们就会需要进一步化简
这个化简是我们把M逆求出来
把M逆求出来以后我们分别右乘到T逆P和R上面去
这样我就进一步的得到了一个PMD
这个PMD是T逆P乘以M逆 然后是作为新的P
然后是T逆Q 作为我们最后的Q
然后RM逆是作为我们最后的R 然后W保持不变
这样我导出的PMD
通过前面的构造 我们可以证明的是
这个PMD一定是一个不可简约的PMD
而且我们经过代入验证 我们也可以证明什么呐
就是这样经过化简得出来的这个PMD
它的传递函数矩阵跟我们原始的PQRW这四个矩阵所确定的
这个PMD所确定的传递函数矩阵G是同一个G
这样我们就实现了 在保持传递函数不变的前提下
我们对这个PMD进行了化简
好 我们这节就到这
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