当前课程知识点：线性系统理论 > 第六周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（一） > LST4-2-4 极点配置（四） > 视频
同学们好 我们这次课来学习单输入系统的极点配置算法
那我们在前面的学习中
我们学到一个在线性系统综合理论中一个非常核心的结论
就是极点配置定理
就是说如果系统是完全能控的
那我们就一定可以找到这样一个状态反馈律
把这个系统的闭环极点配置到我们想要的任意位置
所以说 我们有了这个定理的保证 我们就可以去
实际上就得到了 这个系统可以去综合的一个条件
那在这个条件的保证下
我们就可以具体的去设计我们需要的综合控制律
那我们现在所关心的一个问题是什么
就是说如果我们现在有这样一个受控系统
那这个受控系统的系统矩阵A和B
A是x一点=Ax+Bu的x的系数矩阵 B是u的系数矩阵
因为我们这里面是一个单输入系统 所以B是一个列向量
如果我希望这个系统闭环极点配置到λ1*到λn*
这些极点上面的话
那么我现在问题是什么
就是我希望能够找到一个1*n的这样反馈矩阵K
使得λi 也就是A-BK它的第i个特征值
处在我们期望的λi*的这个极点位置上
或者说我们怎么样去解这样一个方程
使得A-BK的特征值处在我们期望的这个闭环极点位置上面
那我们从前面的分析
实际上我们就可以得到下面的这样一个算法
实际上我们在前面极点配置定理的充分性的证明过程中
实际上已经给出了大家一个极点配置算法的思路
下面我把这个思路来整理一下
首先 第一步就是我们知道
首先我们拿到这样一个的问题时候
首先第一步我们要判断这个综合问题
到底可解还是不可解
那这个可解还是不可解实际上是由系统能控性决定的
也就是 我们可以去计算一下这个能控性矩阵
这个对大家来讲 大家非常熟悉的一件事
就是如果这个系统完全能控就可以往下进行
如果不完全能控的话 那我们就需要寻求别的方式
这时候我们问题的解是不存在的
如果系统完全能控
那第二步 我们就首先来计算一下
我们这个受控系统 它的一个特征多项式
就是A的特征多项式就定义为α(s)=sI-A的行列式
我们把它的系数 特征多项式的系数分别记做
A0 A1 到A_n-1
那计算完这个特征多项式
第三步我们来计算一下期望闭环系统
它的特征多项式是什么
那这个特征多项式
可以由我们的期望的闭环极点组λ1* λi*到λn
这几点来确定
它实际上就等于si （s-λi*）这些单项式的乘积
我们把它展开
就可以得到期望闭环极点 它所对应的特征单项式
我们把这些系数分别叫做a0* a1* 一直到a_n-1*
那么我得到这两个特征多项式以后
实际上我们根据前面极点配置定理的证明过程中
我们就直接可以知道 那么这个系统(闭环系统)
如果它在它的能控规范型这个坐标系下面
它的状态反馈矩阵的系数
就应该等于这两个特征多项式的系数的差
也就是说 它等于a0*-a0 这是k~的第一个反馈系数
a1*-a1是第二个反馈系数 以此类推
这是我们直接就可以计算出来它的反馈系数矩阵
当然这个反馈系数矩阵还应该变换到
我们最初定义这个系统所用的这个坐标系
所以这个时候 我们需要计算
从原来系统变换到能控规范型的它所需要的变换矩阵P
P矩阵我们学过能控规范型 大家都应该知道
它实际上是等于两个矩阵的乘积
第一个矩阵 它是由A n-1*b 然后一直到b
这些向量所构成的这样一个矩阵
第二个矩阵是一个下三角矩阵
这个矩阵的系数 a1到a_n-1
是我们这个a的特征多项式α(s)的特征多项式的系数
那我们计算得到P矩阵以后
我们就可以由K~乘以P的逆矩阵
就可以得到我们所需要的反馈矩阵
那么整个算法就是这样的
那下面我们可以通过一个具体的例子来看一下
怎么样用这个算法来配置一个系统的极点
假如说现在我们有这样一个三阶的系统
[0 0 0;1 -6 0;0 1 -12]这样一个系统
系统系数矩阵A 然后u的系数矩阵是[1 0 0]
我们如果希望这个系统的闭环极点最后配置到这样三个极点
这三个极点 其中一个极点是一个纯的负实数-2
另外两个极点是一对共轭的复数 -1+j和-1-j
那我们看一下 我们需要一个什么样的状态反馈做到这一点
首先第一点 根据我们刚才提出的算法
首先我们要看这个系统是不是能控
只有这系统能控 这个解才是存在的
那这个能控我就在这不给大家一一计算了
大家回去可以自己去算一下 这是非常容易的
就是计算一下这个系统的能控性矩阵 看它是不是满秩
第一点我们可以验证这个时候系统是完全能控的
如果这个系统完全能控 首先第二步 步骤二
我们要计算一个A矩阵的特征多项式α(s)
它等于sI-A的行列式 算出来它的系数等于
s^3+18s^2+72s 这里面常数项是0
那第三步 我们来算一下期望的闭环极点组
对应的特征多项式
我们把这个期望的闭环极点
λ1=-2 λ2=-1+j λ3=-1-j 这个代进去以后
就可以算出这个特征多项式
那么由这两个特征多项式的系数
我们就直接可以计算在能控规范型下面
它的状态反馈这个系数矩阵就是这两组系数的差
它是等于什么 就等于4 -66 -14
那最后第五步 我们就要把K~这个反馈系数矩阵
变换到我们原来的这个坐标系下
那为了做这个变换
我们就要计算这个能控规范型 这个变换矩阵
这个也很简单
就是我们把这个A用我们这个已知道的这个公式
把A和B的矩阵代进去
还有特征多项式 a1 a2 这两个系数代进去
就可以得到我们的P矩阵的表达式
那最后一步 我们知道K~知道P
就可以得到最终我们需要的反馈系数矩阵K K=K~P的逆
它最后的结果就是-14 186 -1220这个行向量
我们这部分的内容就到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
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