当前课程知识点:线性系统理论 > 第三周(第二部分:线性系统的时域理论):系统的状态空间描述(二)、系统的运动分析及稳定性 > LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征(四) > 视频
下面我们给一个具体的计算的例子
这个例子是一个3乘3的A矩阵
在这里面因为实际上对角化只和A矩阵有关
我们就不列它的输出方程了
在这直接给出个状态方程了
这样大家一下看上来
就知道这个矩阵[2 -1 -1; 0 -1 0; 0 2 1]
这个矩阵它不是个对角线形式的
它上下元素都有
这选的是个比较一般的矩阵
怎么把它对角化呢
我们首先求它的特征值
因为你求特征值 最后求特征向量
得到变换阵的过程
你需要先判断它特征值是否都一样
如果不一样 你是分别求3个特征向量
但是求的时候 肯定要把特征值求出来
所以我们第一步 先是求它的特征值
为此呢我们要求它的特征多项式
sI-A求出来的结果是可以得到一个
s-2乘s+1乘s-1这样一个多项式
令为0我们三个根其实都看出来了
就是2 1 -1他三个都是互相不一样的
这样我们就可以用A PI等于λI PI这个形式
分别对λ1λ2λ3 求它的特征向量
比如说我们求第一个属于λ1的特征向量
那就是建一个方程 AP1=λP1
那实际上就是要求
A代过来乘以P P1等于λ1不是2吗 就是2乘以P1
我们经过移向或者我们用分量的形式
求一下的话我们可以知道
在这里面我们可以有一点特殊的形式
我们可以把下面这2个分量
2 3这两个分量都令为0
然后k可以随便指个数
只要不等于0 你千万不能取0
因为它不满足这个特征向量的要求
我们把P1求出来吧
P1可以选成 [1;0;0]
同样我们可以用类似的方法定P2 P3
那我们定出的P2是[1; 0; 1] P3是[0; 1; -1]
这样我们就可以组成一个变换阵T了
t就是把p1 p2 p3作为分开的三个块
然后拼成3*3个矩阵
我们可以对它求逆
得出来的结果T逆=[1 -1 -1; 0 1 1; 0 1 0]
然后我们就可以按照坐标变换的方法
求出相应变换后的系统的参数矩阵A~b~
A~就是T逆乘以A 再乘以T
这三个矩阵我们写出来然后乘开
最后我们可以得出来2 1 -1作为对角线的对角矩阵
这个当然也不是很意外 为什么呢
因为我们这个对角线标准型
对角线上都是我们求的这三个特征值λ1 λ2 λ3
如果你计算有错误的话 有可能求出别的东西
要么不是对角线
要么对角线上不是特征值 这都是计算错误
bλ同样也可以算出来就是T逆乘以b
计算的结果是[2; 5; 2]这样一个变向量
然后我们把计算的结果合成变成了s~
就是新的坐标底下的状态方程的话
那么它相应的参数矩阵也代入
是用的代λ的这个矩阵
那么明显可以看出来我们达到了目的
就是得到了对角线形式的系统矩阵
-线性系统理论的一个有趣应用
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