当前课程知识点：线性系统理论 > 第九周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：矩阵分式描述 > LST5-0 复频域理论概论 > 视频
大家好 我们今天介绍一下线性系统的复频域理论
在介绍具体内容之前
我先对复频域理论做一个简要的介绍
大家都学过经典的频域理论
都知道经典的频域理论是针对一个传递函数而言的
那线性系统里面的复频域理论
应该说是经典频域理论的一个扩展
这个扩展就体现在
它是以传递函数矩阵而不是简单的传递函数
作为它的数学模型
从而展开关于系统的分析设计和综合的一门理论
这门理论相比于经典的传递函数为基础的频域理论
它的研究对象上有很大的扩展
它能够不断处理传递函数本身的问题
也能够处理扩展到传递函数矩阵
也就是多输入多输出的线性系统的分析问题
它相对于简单的传递函数有更丰富的内容
我们在后面的课程内容中对线性系统的复频域理论
从它的数学描述到它的系统结构性质
还有怎么样在复频域里面做综合给一个简要的介绍
那么也鼓励大家结合教材在这方面能够有更深入的了解
作为对整个线性系统理论体系
了解的一个很重要的组成部分
但是由于学时有限
我们重点介绍它的数学模型以及结构性质
还有分析方面综合方面的一些基本内容做一个简要的介绍
大家对它结合课本可以进行一些了解
我们对一些更详细的或者更全面的分析
以及一些理论性的结论就不做全面的证明
复频域理论有很大的特点 就是从数学模型的描述上
虽然目标是分析传递函数矩阵
但是它要借助的工具很有特点
那么也是把经典的频域里面的传递函数
所用的多项式的工具扩展到
下面我们要介绍的矩阵分式描述
简单的来说
就是用分子和分母这样一对多项式
构成的多项式矩阵来描述对象
并且在这个基础上对它展开相应的分析和设计
这是线性系统复频域理论一个很大的特点
那么为此
大家如果没有学习过多项式矩阵的相关的数学知识
建议大家能够结合课本的第七章内容先做一些准备
了解一下多项式矩阵的基本概念
这里面包括多项式矩阵的奇异性和秩
多项式矩阵之间互质的关系 最大公因式这些内容
这些内容会帮助我们
在后续的课程讲解中建立起来
对多变量的线性系统怎样进行复频域的研究
我们在开始具体内容之前
我想如果把整个复频域的内容简单的概括为一两页PPT
就是它到底解决核心问题和基本的想法是什么
我们接下来会给大家有个介绍
那么我们提出一个基本问题
这个基本问题就是在这里给出来的补偿器方程的问题
那么这个补偿器方程是在复频域设计问题当中给出来的
它就是如下的这样一个方程
这个方程由五个矩阵构成了一个等式关系
其中Dc(s)D(s)+Nc(s)N(s)=Df*
这里面Df*这个矩阵代表了闭环动态特性的一个矩阵
D(s)和N(s)这两个矩阵构成了开环对象描述的参数矩阵
Dc和Nc这两个矩阵描述了控制器的参数矩阵
应该说在复频域的整个理论设计当中
我们总是以这样一个方程作为列写的目标
包括研究这个方程的可解性
可解的条件 以及最终怎么样通过给定的参数矩阵
(D,N,Df*)这三个矩阵
去确定(Dc,Nc)这两个矩阵这样一个问题
这是从数学的角度我们如果高度概括的话
应该说复频域理论实际上最终是要
把各种各样的分析和综合问题
归结为这样一个补偿器方程问题 进而展开探讨
那么大家可能会问这个方程是怎么来的
它跟经典的频域理论我们熟悉的传递函数这个框架里面
进行的分析和设计问题有什么联系呢
接下来我给大家回顾一下
经典的频域理论当中的补偿器方程
大家可以看我们在这里给出来的
单输入单输出系统的补偿器方程
它列写出来是什么形式
我们看到它也是由五个多项式构成的方程
其中nc(s)b(s)+dc(s)a(s)=a*(s)
大家学过经典的频域理论就知道
跟底下这个框图里面对应的
典型串联校正加单位负反馈的这样一个形式完全吻合
我们列写这个方程实际上
左边这个组合代表的是闭环的特征多项式
而a*正好是期望的闭环特征多项式
所以我们在串联校正当中
实际上所有的这些设计理论
在串联校正加单位负反馈这个框架中
最终归结为如何选取(dc,nc)这样一对多项式
也就是选取控制器的传递函数 它由一对多项式决定
那么使得闭环的特征多项式恰好等于期望的特征多项式a*
在这里面a(s)和b(s)
分别代表了开环对象的分母和分子多项式
也就是b(s)/a(s)对应的是开环对象的传递函数
所以从这个意义上我们现在就可以看出来
就是前面刚刚提到的
在复频域理论里面补偿器方程是面向参数的
多项式矩阵所列写出来的补偿器方程
从形式上我们很容易看出来它确实是
我们熟悉的经典频域里面补偿器方程的一个推广
那么简单的来说
就是期望的闭环的特征多项式等于
引入控制器后得到的实际的闭环特征多项式 两者相等
如何根据这个要求去确定控制器的两个参数多项式
这样一个概念的推广
无非是我们现在把这样一个综合问题推广到
用多项式矩阵来描述的这样一种格局里面
我们再把单变量的综合问题扩展到多变量的综合问题
所以大家从这里可以看到
线性系统的复频域理论跟经典频域理论之间
有一个很容易看出来的对应关系
正是这样一个对应关系也使得我们
在后面探讨复频域理论的时候
有很多的地方 包括问题的提出
还有我们关心的一些性质
其实也跟经典的频域理论有很自然的联系
我想大家应该建立起来这样一个总体的认识
我们用这样一个观点去看后面讨论的各项内容就比较自然
好 我们关于复频域理论的一个简单介绍就到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
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