当前课程知识点：线性系统理论 > 第九周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：矩阵分式描述 > LST5-3-2 不可简约MFD（二） > 视频
那么我们 前边我们介绍了不可简约MFD作为
一个传递函数矩阵这个描述上的最简单的性质
已经通过几条性质看出来了
所以它这个结论意义非常重大
就是说不可简约的MFD是所有MFD当中
描述起来模型最简单的一种表述
而且它有广义的唯一性
所以这一点就类似于我们在时域模型里头
我们最小实现这样一个概念
所以我们在研究这个矩阵分式描述
包括我们去 将来综合这个控制器的时候
我们都是希望真正实现出来的时候是最简单的
所以很有必要探讨一下
就是我们怎么样
通过一个矩阵的MFD构造它的不可简约的MFD
那么使得我们设计出来的控制器
最终在实现的时候是一种最简单的描述
那我们现在就面临这样一个问题
或者我们就来研究一下
这个构造不可简约的MFD的方法
我们把这个研究分成两大类问题
就是说我们首先讨论的是从一个MFD出发
怎么样构造不可简约的同侧的MFD
比如说我们给定的是 N D逆 这个（可简约的）
就是说给定的是右MFD
那我们想导出不可简约的右MFD 这个方法
当我们给定这个 N D逆 为可简约的MFD的时候
有时候就是说为了简化模型的角度
我们需要导出相应的不可简约的MFD N' D'逆
这里边导出的方法我们也有两种
第一种导出的方法 简单的概括为就是约分的思想
那么我们前边其实在论证这个
可简约的和不可简约的MFD的时候已经谈到了这个想法
那我们下边就来给出来
假定这个N D逆当中
N和D它有一个最大公因子是这个R(s)
那我们这个时候
从它导出这个不可简约的MFD的方法
就是让我们这个最大公因子 最大右公因子R
去作为一个除式去除我们的这个分子和分母
那我们除出来的结果 分别是N'和D'
就是N' = N * R逆 D' = D * R逆
那么我们可以检验的是这个D'和N'
它已经构成一种互质的关系
这样的话 因为我们把最大公因子都约掉了
这个时候 得出来的这两个多项式矩阵
那么同样的 它们所描述的这个传递函数矩阵
仍然是和 N D逆 是一样的结果
那么这里边就涉及到一个概念
就是这个最大右公因子的概念
那么我们前边只是提到了
如果你能够找到这个最大右公因子的话
你可以如何如何
那么接下来我们就看到 这个关键的构造的步骤
就在于怎么去求这个最大右公因子
那么实际上最大右公因子是可以通过单模变换给求出来的
我们这儿说的这个单模变换
实际上就是可以证明它其实只有简单的三类初等变换
就是在教材当中也有介绍
我们这儿口头地简单介绍一下这个初等变换
无非是 初等的比如说我们这个
行变换的话就是指的是三类
一类是交换任意两行
另外一类就是我们可以在某一行上
给它乘上一个非零的常数
还有一种变换就是我们在某一行给它乘上一个多项式
然后把这一行整体地加到另外一行上去
这三类构成了我们说初等的这个单模变换
而且理论上可以证明就是说
任何一个单模阵去右乘一个矩阵的话
相当于做有限次的这样的初等变换
就是前三类的初等变换
总之我们这个地方给大家一个基本的概念
就是说 如果我们能够找到一个单模变换阵U
就是说经过有限次的单模变换或者叫初等变换的话
我们可以把一个D和N的分块矩阵给它变换成为
另外一个分块矩阵 就是R(s) 0的形式
而这个R它的尺寸跟我们这个分母矩阵D是一致的
那么这种情况下的话
我们就可以证明这个R是 D和N的一个最大右公因子
所以这个最大右公因子怎么求的事情
可以通过一个构造定理来给出
就是如果我们把这个D和N
把它进行一系列的行初等变换
给它变出了底下这个q行是全0的
这样的p列的这样的一个0矩阵
而上边那部分是一个p*p的一个方的多项式矩阵的话
那我们求出来这个方的矩阵R
就是我们希望得到的一个N和D之间的最大右公因子
那么另外一种方法
就是我们说导出这个不可简约MFD的方法
就是所谓的间接构造方法
那么这个间接构造方法是说
如果我们在寻求这个最大右公因子的过程当中
我们存在着 不是有一系列单模变换阵吗
它们最后的效果是这个单模阵
是左乘这个D和N的 这个分块矩阵
使得U乘上D和N等于 R 0 这样一个分块矩阵
那么我们可以令这个 U这个矩阵的逆矩阵为V(s)
那么这个V矩阵
可以证明它是一个 也是一个单模阵
那么我们把这个V进行这个分块
使得它导出不可简约右MFD V21 * V11逆
那么这个证明是在这儿 稍微给出一下
就是我们实际上根据刚才说的
这个求最大右公因子这个变换过程
就是U乘以D和N等于 R 0
那么我们就知道这个D和N 其实等于V乘以R 0
那么我们把V写成分块的四个分块
V11 V12 V21 V22 乘以R 0 的话
那么就可以看到
我们可以把N和D的分块描述成为
这个V11R和V21R的分块形式
这样我们就可以知道
那么V21乘以V11的逆 实际上是等于N乘以D逆的
那么这样的话我们就可以看到
就是这个V21和V11也构成了一个右MFD
同时我们可以看到 这个V11和V21
它是这个单模阵V的某些列组成的这样的矩阵
那么也很容易证明 V11和V21它也是右互质的
这里边的重点就是说
我们在构造这个N和D的这个
对应的不可简约的右MFD的过程当中
我们利用的是间接的变换阵里边
它的逆的分块的描述形式
当然我们从这儿可以看出来
实际上就是说 这样的一个求解的方法
在我们实际 如果说用数值计算的时候不见得是最简单的
因为我们如果能把R求出来
实际上直接用R逆就可以构造了
但是这个结果是有它理论上的意义的
刚才我们探讨了有两种来求解这个
同侧的不可简约的MFD的形式
也就是说给定一个可简约的右MFD
怎么导出相应的不可简约的右MFD
下边我们再来讨论另外一个问题
就是说我怎么样构造这个异侧的不可简约的MFD
那我们当给定这个右MFD N D逆
是一个可简约的MFD的形式的话
我们有的时候需要去导出
相应的不可简约的左MFD A逆 B
这里边给的是右MFD却要导出不可简约的左MFD
那它的这个构造方法是什么样呢
我们说也是分为两类方法
一类方法就是说我们采用归约的方法
就是我们首先求解一个矩阵方程
这个矩阵方程是
-B' A' 这样的一个分块的待定矩阵
乘上这个D和N 等于0这样一个矩阵方程
然后我们 首先去解这个矩阵方程
使得找到这个方程的解以后
我们通过这个方程实际上保证的是
A'逆 B'它是跟这个N D逆
得到的是相同的传递函数矩阵
仅此而已
它没办法保证这个A'和B'之间的这种左互质的关系
因为我们在这儿说不可简约的左MFD
那么约定就是说分子分母矩阵它是左互质的关系
那我们没法保证的情况下
我们就利用前边 就是已经有的这个
左MFD可能可简约的条件下的话
我们可以再进一步的通过约分来化简
就是把这个A' 和 B'之间的这个左最大公因子
最大左公因子给它约掉 也可以实现它的化简
这样的话能够通过归约的方法得到
这个不可简约的左MFD
那么还有一种方法也是同样的可以通过可简约的右MFD
导出不可简约的左MFD
这个方法也是个间接的构造方法
那么同样也是在理论分析当中 采用得比较多的
这就是说
同样我们还是回到就是给定的D和N
这对矩阵它可能可简约
这个时候就存在着最大公因子R(s)
那么我们也可以说
根据最大公因子的构造定理的话
我们有一个 存在着一个单模阵U
乘上D和N等于R 0
那么我们接下来这个构造
就是左MFD的构造
实际上是从这个U的分块矩阵导出的
那这个导出的形式就是说
我们取出这个U22的逆 和这个U21 添个负号
构成了一个不可简约的左MFD
使得这个左MFD它和D和N的
所对应的传递函数矩阵相同
那这样一个简要的分析
就是说我们把U给它进行分块
就是U11 U12 U21 U22 乘上D和N 那么等于R 0
那这个时候我们就可以证明的是
U21和U22这个 下边这两个分块
和D和N乘在一起的时候 它等于0
因为刚才上边矩阵的分块相等的话
实际上底下两块乘上D和N 它是等于0的
那么这个时候根据这一条 也是类似于我们前边看到的
归约的步骤里头那个关系
从这个关系里我们可以导出来
-U22逆乘以U21等于这个N*D逆
同时有一个性质非常重要的地方
我们看到这个U21和U22
它是来自于这个单模阵U的 是它的底下的两个分块
所以也可以从理论上非常容易证明
就是说这个U21和U22它也是左互质的
这样的话我们就导出了这个不可简约的这个左MFD
我们是给定的是D和N
但是导出的是这个(左侧的)不可简约的左MFD
好 我们介绍就到这里
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