当前课程知识点：线性系统理论 > 第八周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（三） > LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二） > 视频
同学们好
我们这节课来学习参考输入和扰动的信号模型
前面我们介绍了跟踪控制
和扰动抑制这两个典型的控制问题
我们也介绍了如果这两个问题同时发生的时候
实际上就形成了无静差跟踪问题
那么这两个控制问题
在实际中从数学处理上有非常相似的地方
就在于参考输入和扰动信号都是以同样的方式
对系统的状态和输出产生影响
所以说在这节课我们来介绍下
实际上在对信号的处理上 对这两种信号
我们可以有一种统一的方式对它们进行处理
那么为了同时实现渐进跟踪和扰动抑制
我们需要阵对参考输入和扰动信号的特征进行综合
这句话说的是什么意思呢
也就是说我们在实际的控制过程中
对参考输入和扰动信号并不是一无所知的
我们必须要根据它们的特征进行综合
也就是说我们事先对它们的一些信息
和结构特征有一定地了解
才能进行有效的参考输入的跟踪和扰动的抑制
那么这里面我们利用它的数学模型进行设计
假设它们的拉普拉斯变换都具有有理分式的形式
比如说某一个单变量的参考输入
y0(t)的拉普拉斯变换是这样一个有理分式的形式
这个有理分式的分子是N(s)这样一个多项式
分母D(s)也是一个多项式
那么D(s)的根就决定了信号y0(t)中所含信号的各种模式
因为我们知道如果y0(s)它是一个有理分式的话
那么y0(t)所含信号的模式要么是指数衰减的
要么是正弦震荡的 或者是衰减震荡的
或者是指数增长的这些模式
所以说D(s)决定了y0(t)所含信号的各种模式
那么N(s)决定了这些模式信号各自所占的比重
或者说它们所占的幅度 它们幅度的大小
所以说从这一点来讲 y0(s)的有理分式的表达式
分母反映了信号的结构特性
分子包含了信号的非结构信息
那么我们在解决跟踪控制和扰动抑制问题的时候
我们需要了解的信息是什么呢
就是信号的结构特性
而信号的非结构信息我们并不需要对它进行清楚的了解
我们只需要了解它的结构特性就可以
那我们怎么从状态空间的模型对信号进行描述呢
假如某一个单变量的参考输入
满足这样一个有理分式的结构形式
那么信号用这样一个状态方程来描述
可以有一个状态方程s=A0(s)
y0就是参考输入信号是s变量的线性组合
也就说是这个状态方程的一个输出函数
这里面A0是什么呢
A0这个矩阵它的最小多项式
应该是等于y0(t)拉普拉斯变换的分母多项式
这样的话s(t)这个状态空间模型中包含的模式
就会覆盖y0(t)中所包含的信号模式
所以y0(t)信号的模式就反映了D(s)中信号的模式
那我们举两个非常典型的例子
比如说最简单的 如果矩阵A=0
那么大家可以看到这个状态方程描述
也就是状态是一维的
而这个状态所包含的极点就是原点
所以这个时候x(t)就是一个大小未知的常值函数
所以y0(t)如果作为x(t)的一个渐进函数
实际上就是一个跟x(t)成正比的函数 它是一个常值函数
但是这个常值函数我们并不需要知道常值的大小是多少
这是一个典型的情况
那另外一个非常典型的情况就是A是这样一个两维的系统
A矩阵是这样一个大家非常熟悉的形式
我们知道对于这样的一个系统
它有一对共轭的虚根一个iw 一个-iw
所以x(t)表示了一组正弦震荡的信号
这个正弦震荡的信号它的频率是w
所以说y0(t)作为x(t)的这样一个线性组合
它实际上是表示了频率为w
但是幅度和相位并不一定知道的这样一个正弦信号
所以说由这样一个状态方程可以描述结构特征已知
但是非结构信息并不需要清楚的这样一类信号
其中这些非结构信息包含在状态方程中x0的初值
也就是说x0的初值决定了y0(t)中各个信号分量的大小
那么这个参考输入模型总结一下
刚才我们介绍了一个单变量信号的模型
可以由有理分式来描述
那如果参考输入是一个多变量信号
比如说它包含q个信号[y01(t) ... y0q(t)]
那么每个信号都由相应的有理分式描述
比如说y01(t)由Nr1(s)/Dr1(s)描述
y0q(t)由Nrq(s)/Drq(s)来描述
那这个时候状态空间模型怎么样来描述呢
我们用这样一个状态方程来描述
假如说现在这q个信号的分母多项式Dr1(s)到Drq(s)
这q个多项式的最小公倍式叫做Dr(s)
那么这个最小公倍式的次数是nr的话
它的状态方程就可以由sr这样一个状态方程来描述
sr这个状态方程满足系统矩阵等于Ar
那么Ar的最小多项式 就等于Dr(s)
这是Ar应当满足的性质
那同样的道理y0(t)是sr(t)的一个线性组合
其中Cr是q*nr维的矩阵
那这个时候sr的初值就反映了y0(t)中各个信号分量的大小
这个实际上是在控制设计中我们并不需要明确知道
我们需要知道的是Ar或者说y0(t)中的结构信息
就是它所包含什么样的模式 这是我们需要了解的
那么同样的道理扰动信号模型中
扰动信号和参考输入信号从数学上来讲是对等的
所以对它的信号模型的描述是一样的
如果w(t)中包含q个信号
每个信号有相应的有理分式
我们就可以把这些有理分式分母多项式取出来
找出它们的最小公倍式(叫做Dw(s))
从Dw(s)就可以找到相应的状态空间描述
用sw这个状态来表示信号的状态空间描述
w(t)就是sw的一个线性组合
这里面Aw的最小多项式等于Dw(s)
其中sw(0)就是状态空间的初值
同样反映了w(t)中各个模式分量的大小
这个也是我们不需要知道的
我们需要知道w(t)中所包含的模式类型
这是扰动信号的模型
这两个扰动信号和参考输入信号
在模型描述上是非常类似的
所以我们在系统设计的过程中
实际上可以把这两个模型合起来
形成所谓的共同不稳定的模型
为什么叫做共同不稳定模型呢
实际上是这样一个道理
因为在设计无静差跟踪的时候
定义无静差跟踪性能是t趋于无穷时
也就是在时间很长的时候
我们希望系统的实际输出能够跟踪参考输入
所以说在时间很长的时候
系统里面各个模态的稳定部分这个时候实际上是不起作用的
所以说我们在引入参考输入和扰动信号模型的时候
它们信号中稳定部分当时间趋于无穷大的时候
对系统的跟踪性能是不影响的
真正影响的只剩下参考输入
和扰动信号模型中不稳定极点的部分
所以说我们要对参考输入和扰动信号
进行针对性的设计和控制的时候
我们只需要把那一部分提取出来就可以了
所以说我们做这样一个分解
比如Dr(s)就是前面定义的
参考输入各个分量分母多项式的最小公倍式
Dr(s)可以分解为两个多项式的乘积
φr~(s)*φr(s)
其中φr~(s)包含的极点
是参考输入中的稳定部分(渐进稳定部分)
φr(s)中包含它的不稳定部分 也包含它的临界稳定部分
也就是说极点正好在虚轴上的模式
同样的道理我们也可以把Dw(s)分解成
它的渐进稳定部分它的非渐进稳定部分
那这样的话我们把φr(s)和φw(s)
也就是把参考输入和扰动信号中不稳定的部分放在一起
把这两个多项式的最小公倍式定义为φ(s)
假设φ(s)次数为n
那么从φ(s)就可以去定义参考输入
和扰动信号的共同不稳定模型
下面这个状态空间模型sc(t)
就反映了参考输入和扰动信号不稳定的部分
这里面系统矩阵Ac的最小多项式就应该等于
φr(s)和φw(s)的最小公倍式
同样地 yc(t)不稳定时候的信号等于sc(t)
也就是状态变量
其中sc的状态初值反映了这些信号的幅值和分量的大小
好 我们这节课就讲到这里
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