当前课程知识点：线性系统理论 > 第二周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（一） > LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二） > 视频
接下来 我们还会再稍微讨论更接近工程的一些情况
就是所谓的组合系统
它的状态空间描述
怎么去导出传递函数矩阵
这个从道理上说还是比较简单的
因为我们已经知道
如果有一个系统 或者一个子系统
它的状态空间模型给出以后
我们就很容易来计算它的子系统的传递函数矩阵
就按刚才的公式
但是如果说 这个系统是由各个子系统通过串并联
和反馈的形式组合起来的
我们就来讨论这个整体传递函数
怎么样依赖于每个模块的状态空间模型
这里面我们先假定有些子系统
它典型的连接方式就是
我们其实前边也提到过
就是串联并联或者反馈形式的连接
我们把这个系统都称为组合系统
我们假设每个子系统呢
已经给出了他的状态空间模型 对吧
比如说我们两个系统 一个∑1一个∑2
分别有两套参数决定他的状态空间模型
A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2
在这我们就来依次讨论一下并联系统
串联系统和反馈系统
它的传递函数矩阵怎么样依赖于各个模型
我们对于并联系统在这来介绍一下
这两个子系统共用一个输入
输出要进行向量加和
这个地方我们把它的信号的代数关系列下来
这个地方有个图示
重点是我们每个模块都有它的
子系统的状态空间模型
我们现在来导出它的整体模型
整体模型也关心他的输入输出关系
那我们其实就可以看出来呢
我们子系统呢 已经有了状态方程
那我们对于一个大的系统
组合起来以后怎么选择状态变量呢
这里面我要强调一点
我们如果在频域里头做惯了这个分析的话
我们很可能就直接把他的传递函数加一块了
那这个时候系统状态空间模型
可能这个状态会发生变化
我们在这强调呢
对于组合系统你如果对他进行状态空间建模的话
你需要按照下面的约定来做
也就是说 你的整体系统的状态变量
应该是把子系统的状态变量进行拼接
构成一个大的向量
所以我们在这给大家展示出来的
就是X是由x1 x2这两个小的分量并起来
就是变成了分块的一个向量x1 x2
而他求时间导数
建立起来的这个方程呢是整个这个系统的状态方程
而输出呢 当然是整个系统的输出
那我们现在状态是这样来选取以后就很容易列写
整个这个总系统的状态方程
而这个总系统的状态方程呢 我们会发现
由于他只在输出的地方进行了交互
也就是信号进行了叠加
那么两个状态都不受另外一个系统的输出的影响
所以我们在状态方程呢
其实就是每个状态分量x1和x2
分别服从他原来的状态方程
但是大家要注意
当你要把这整个状态变量合起来
形成一个大的状态向量的时候
那么你去描述这个状态方程的矩阵形式的时候
你就需要添加0的这个分量
然后使得我们这个大的系统矩阵A呢
具有一个分块对角的形式
而大的系统的输入矩阵呢
变成了B1 B2也构成了一个分块矩阵
那么 相应的由于输出信号
是两个子系统地输出进行叠加
那么我们在列写输出方程的时候也需要注意
就是你是要看总的输出
怎么样依赖于总的状态向量和输入
所以我们在这呢
直接传递矩阵D1和D2要直接相加
而这个状态变量呢
要分别乘上原来的输出矩阵 然后也进行相加
那么 我们在按照定义
在按照传递函数的获取
对整个系统参数依赖关系呢
我们按照C乘以sI-A的逆乘以B加上D
这样一个概念去计算
我们会整理出来一个结果
这个呢 由于我们的系统矩阵具有分块对角的形式
所以呢 我们在求逆的时候可以每个分块单独进行求逆
这样我们整理出来以后
有一个很有意思的结果
就是 我们重新在合并对这个计算的结果
会发现呢 大的GS可以写成G1+G2的形式
而每一个G1 G2是分系统的传递函数
是按照C1（sI-A1)逆乘以B1+D1
和C2（sI-A2)逆乘以B2+D2的形式
分别进行计算 然后在总体上求和
所以这个和我们的方框图的变换原则是一致的
事实上呢 我们这也给出了一个证明
就是说 为什么组合系统这个总的传递函数
等于分的传递函数之和
在这其实也是一种证明的思路
那么 当然也可以根据信号的关系去证明
但是 我们在这强调一个重点呢
还是说呢 我们对于一个并联系统来说
如果你有分系统的模型
你可以先按照分系统
分别求传递函数然后求和
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