当前课程知识点:程序设计基础 > 第五章 分治思想与递归 > 5.5 青蛙过河 > 5.5.4 问题分析——一般情况
下面我们再次把问题的难度增加
增加新的一根柱子
也就是S等于2,y等于1了
那么相当于要我们求解Jump(2,1)
我们将河中的两个柱子分别称为S1和S2
这样后面我们讲解和图示的时候比较方便
荷叶仍然叫做Y
我们现在考虑把L上青蛙的一半
根据我们前面一次推导得到的
可以把一半的青蛙经过S1和Y也就是柱子和荷叶转到S2上面去
因为如果是直接转到R上面 这个任务你又送少了青蛙了
把它们送到S2上面去 还在河里面
当然是一半小的在S2上面 大的留在L上面
我们画了个示意图你可以看到
河的左岸是L 中间有荷叶Y 右边是R
另外还有一个S1和S2
把L、Y、S1、S2圈起来
这实际上你会看到在这个区域里面一共是三根柱子
两根在河里 一个在河的左岸
这跟我们前面分析的 河的两岸有柱子
河当中有一根s这根柱子 柱子数量是一样的
这样划出来的区域 其实就是前一次分析时候
相对复杂一点点的级别情形
根据前面的分析我们知道
可以借助于S1和Y 把一半的青蛙送到S2上面去
同理 可以进一步借助于空着的Y和空着的S1
把另一半的青蛙送到R上面去
我们把它表示为L经过S1 Y把它送到R上面去了
这两个过程(现在这个与前面那个)其实是一样的
而且这个过程跟再往前分析的
只有一根柱子 一片荷叶是完全一样的
河里面只有一根柱子 一片荷叶
所以这两个按照前面的推导过程
来完成各自一半青蛙的运送
我们发现有一半青蛙已经到R上去了
还有一半青蛙在S2上面
最后一大步是把青蛙从S2
再次经过河里面Y和S1送到R上面去
这时候跟以前不一样的地方是
河的左岸其实不存在
是把S2当做左岸 相当于虚拟的左岸
为了更好地理解这个过程
大家看这么一个动画
在动画的过程当中 大家可以看到
首先是把青蛙以S2为河的虚拟右岸 把4只青蛙运送到S2上去
然后把L、S1和Y作为一个整体
恢复到前面一次分析的情形
一根柱子一片荷叶
当然也可以完成4只青蛙的运送
我们可以看到5678四只青蛙就到R上面去了
当然最后一步就很简单了
实际上把S2当做新的虚拟的河的左岸
经过河中的S1和Y 把青蛙送到R上面
经过前面的分析 我们知道
可以把L S1 S2 Y R分解为两个系统
分别为L S1 Y S2 这个系统
以及S1 S2 Y R这个系统
那么当然他们各自的系统里面
对第一个系统 左岸是L 右岸是虚拟的S2
对于第二个系统 左岸是虚拟的S2 右岸是实际的R
那么这两个系统其实是一摸一样的
我们把它做一个简单的替换
变成了大家都是L S1 Y R这样的系统
最后就变成了两倍的Jump(1,1)
也就是分成两个不同的系统来完成它
经过一个简单的归纳
我们发现可以得到这样一个规律
就是S根柱子 Y片荷叶
去算跳过去的青蛙数Jump(s,y)的时候
其实是等于2倍的Jump(s-1,y)
也就是S根柱子问题的求解
是等于两倍的s-1根柱子的答案
也就是s-1根柱子的答案出来之后
我们可以完成S根柱子的求解
很显然这是一个递归的方法
根据我们前面不断地把问题简化
我们终于找到了这个问题的规律
所以最后答案非常简单
它是一个递归的调用2*Jump(s-1,y);
我们给大家展示一下主体函数Jump的代码
非常简单 如果s=0 没有柱子
直接return (y+1)
如果是有柱子 比如S根柱子
就return两倍的Jump(s-1,y);
y接着调进去 s要减1
这样的话就得到最终的结果
-1.1 基础知识
-1.2 买菜问题
-1.3 数学运算
-1.4 补充说明
-1.5 总结
--1.5 总结
-程设论道
--程设论道
-师生问答
-第一章 编程初步--语法自测
-2.1 关于超级计算器的几点思考
-2.2 电子秤模拟 — 背景介绍及需求分析
-2.3 电子秤模拟 — 代码实现
-2.4 变量定义与变量类型
-2.5 猜数游戏与数据表示
-2.6 关于变量的讨论
--公告
-2.7 变量体现的计算思维
-程设论道
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-师生问答
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-第二章 变量与代数思维--语法自测
-3.1 谁做的好事——语义表示
-3.2 谁做的好事——真假检查
-3.3 谁做的好事——循环枚举
-3.4 谁是嫌疑犯——多重循环枚举
-3.5 谁是嫌疑犯——破案线索表示
-3.6 谁是嫌疑犯——用二进制枚举
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
--程设论道三
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-第三章 逻辑推理与枚举解题--语法自测
-4.1 插花游戏
-4.2 筛法
-4.3 线性查找
-4.4 折半查找
--4.4.1 提问
-4.5 排序问题
-4.6 总结
--4.6.1 总结
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--程设论道二:筛法
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-第四章 筛法与查找--语法自测
-5.1 阶乘
-5.2 排序
-5.3 矩阵填充
-5.4 分书与八皇后
-5.5 青蛙过河
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--师生问答二
-第五章 分治思想与递归--语法自测
-6.1 兔子数列问题
-6.2 分鱼问题
-6.3 橱窗的插花问题
-6.4 最长公共子序列问题
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-第六章 递推与动态规划--语法自测
-7.1 统计记录总数
-7.2 统计活跃用户数
-7.3 统计在线时长
--7.3.2 结构
-7.4 总结
--7.4.1 总结
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-第七章 文本数据处理--语法自测
-8.1 将数据组织成链表
-8.2 提高链表访问效率 —— 哈希链表
-8.3 以二进制文件存储链表
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-第八章 非文本数据处理--语法自测
-9.1 自动售卖程序
-9.2 配制水果信息
-9.3 指定界面语言
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-第九章 可配置的程序设计--语法自测