当前课程知识点:程序设计基础 > 第六章 递推与动态规划 > 6.4 最长公共子序列问题 > 6.4.3.1 动态规划解题(1)
当我们尝试用动态规划的方法来解题的时候呢
可以借鉴一下之前老师总结的那个经验
我们再来看一下 我们经验呢是说
先要把问题分解成多个阶段
然后考虑一下是不是每个阶段面临的是相似子问题
然后这个子问题的性质呢
是不是能够满足所谓的最优性原理
然后呢 我们需要去找出每个阶段上的状态
然后考虑状态面对这些决策
最优决策考虑递推
那么我们下面就是对于这最长公共子序列的问题
一步一步来进行尝试
首先呢 需要把问题分解成多个阶段
那么从我们刚才的这种手工去找的过程中间呢
实际上我们一个字母一个字母依次去比较
就是一个很自然的一个阶段的划分
而且呢我们这种划分以后啊
我们每次面对的问题依然是说
A从哪个字母开始的这么一个序列
和B从哪个字母开始的这么一个序列去比较
所以这样的子问题是一种缩短后
这个序列的最长公共子序列的问题
那显然它与原问题啊是一个相似的一个子问题
那么这样的子问题是不是
能够满足所谓的最优先原理呢
那我们可以想一下说 我们刚才这种方法里头
如果两个序列他们的首字母是相同的
那我们已经得到了一个匹配了
这个最长公共子序列已经有这么一个字母进去了
我们如果按这种方式逐步去往下演算 递推
那显然我们的策略应该是能够
我们觉得 是应该能够
保证得到一个整体的最优解
也就是我们要求的最长的那个公共子序列的
那么如果我们比较的这两个位置上这个字母它不同
那显然既然它不同嘛
它必然不是公共子序列的字母
因为它对应位置不同
所以我们刚才的那种方法也是
一定不会丢掉那个最优解的
基本上来讲我们考虑一下说
我们这个子问题是能满足这种最优性原理的
那所以呢我们把它形式化一下
我们来这样定义我们的阶段
我们用lcs
也就是最长公共子序列来表示
那么一个一个字母比较
所以呢我们阶段划分是这样的
用i j这样的两个下标
来表示说lcs[i,j]就是求A从i开始的序列
与B从j开始的序列
求他们的最长公共子序列
因此呢如果A的序列长度是m
B的序列长度是n的话呢
我们就一共定义了m*n个阶段
然后我们就要考虑每个阶段下的状态了
那显然我们的子问题
就是求A从i开始的序列与B从i开始的最长公共子序列
也就是说我们每个阶段下只有一个状态
那么这个状态下有哪些可能决策呢
也许有很多
但是呢我们刚才考虑是一种不会亏的决策
反正如果能有公共的这么一个字母呢
我们就把它选出去
如果它不是公共字母
那反正扔掉它也不亏
所以我们这是一个不会亏的决策
那么这种决策呢 就是一种最优决策
就因为说如果这个位置的两个字母它是相同的
我们就把它加到公共子序列里了
如果他们不同呢
那反正这样不同啊就是
Ai不是公共子序列的组成成分或者是Bj不是
因此呢我们扔掉Ai或者是扔掉Bj都是可以的
都有可能所以我们只要扔掉以后
我们再去取两种方案之间比较优的
也就是相对比较长的一个公共子序列
就能得到题目所要求的变成
一个子问题的这么一个最优方案
那么这个递推公式怎么去写呢
根据刚才我们的这种推理
如果Ai和Bj是相等的
那么它的长度呢就是1加上剩余部分两个
串的最长公共子序列的长度
否则呢 两种情况 我们要求一个最长
这种情况呢就是抛掉了一个字母
-1.1 基础知识
-1.2 买菜问题
-1.3 数学运算
-1.4 补充说明
-1.5 总结
--1.5 总结
-程设论道
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-师生问答
-第一章 编程初步--语法自测
-2.1 关于超级计算器的几点思考
-2.2 电子秤模拟 — 背景介绍及需求分析
-2.3 电子秤模拟 — 代码实现
-2.4 变量定义与变量类型
-2.5 猜数游戏与数据表示
-2.6 关于变量的讨论
--公告
-2.7 变量体现的计算思维
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-师生问答
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-第二章 变量与代数思维--语法自测
-3.1 谁做的好事——语义表示
-3.2 谁做的好事——真假检查
-3.3 谁做的好事——循环枚举
-3.4 谁是嫌疑犯——多重循环枚举
-3.5 谁是嫌疑犯——破案线索表示
-3.6 谁是嫌疑犯——用二进制枚举
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
--程设论道三
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-第三章 逻辑推理与枚举解题--语法自测
-4.1 插花游戏
-4.2 筛法
-4.3 线性查找
-4.4 折半查找
--4.4.1 提问
-4.5 排序问题
-4.6 总结
--4.6.1 总结
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--程设论道二:筛法
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-第四章 筛法与查找--语法自测
-5.1 阶乘
-5.2 排序
-5.3 矩阵填充
-5.4 分书与八皇后
-5.5 青蛙过河
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--程设论道一
--程设论道二
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--师生问答一
--师生问答二
-第五章 分治思想与递归--语法自测
-6.1 兔子数列问题
-6.2 分鱼问题
-6.3 橱窗的插花问题
-6.4 最长公共子序列问题
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-第六章 递推与动态规划--语法自测
-7.1 统计记录总数
-7.2 统计活跃用户数
-7.3 统计在线时长
--7.3.2 结构
-7.4 总结
--7.4.1 总结
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-第七章 文本数据处理--语法自测
-8.1 将数据组织成链表
-8.2 提高链表访问效率 —— 哈希链表
-8.3 以二进制文件存储链表
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-第八章 非文本数据处理--语法自测
-9.1 自动售卖程序
-9.2 配制水果信息
-9.3 指定界面语言
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-第九章 可配置的程序设计--语法自测