当前课程知识点:程序设计基础 >  第六章 递推与动态规划 >  6.4 最长公共子序列问题 >  6.4.3.2 动态规划解题(2)

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6.4.3.2 动态规划解题(2)

下一节:6.4.3.3 动态规划代码

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6.4.3.2 动态规划解题(2)课程教案、知识点、字幕

然后考虑 递推方向 那么我们在计算

从i j代表的这个阶段的时候

对于这个阶段对应的唯一状态

根据我们的递推公式呢

我们显然是需要另外的三个状态的

而且呢这三个状态所代表的这个阶段的

i和j我们看到 它下标都是加1的

所以呢 我们的递推方向实际上是从

较大的下标往较小的下标这种方向来进行递推的

所以在这种情况下

我们确定初值要从比较大的下标开始考虑

那么请看这张图

我们还是用类似用坐标器的方式来表示

横坐标呢表示A序列上每个位置的字母

纵坐标呢是表示B序列上的字母

它们的一个交点呢就表示我们的状态

例如现在图上箭头所指的这么一个状态就表示

我是比较A从m-5个字母开始的序列

和B从n-4开始的序列去

求他们的最长公共子序列这么一个子问题

或者是说这么一个状态

所以我们考虑我们的递推了

如果我要递推顺利进行

那么显然我们说下标值最大的应该是

下标m-1和下标n-1它们的这个交点

那么这个应该是我们的一个初值

这个我们可以很容易的计算

因为从这开始的所谓的两个序列

其实就是两个字母很容易比较

那么有了这个之后呢

如果我们考虑这个A从m-2开始B从n-2开始呢

那么它还需要用到另外两个初值

那么进一步考虑

如果是A从m-3开始B还是n-2开始这么两个序列呢

还需要有一个初值

它对称位置A从m-2开始 B从n-3开始

又需要用到一个初值

所以我就发现说

我们的递推初始值除了m-1和n-1之外呢

我们的这个横向纵向其实都需要有初值

这是我们的一个结论

但是如果我们仔细去分析呢

又发现我们好像期望这个初值还有点小问题

图上这两个黄色的点 它们真的只是初值吗

而其实不是 我们要计算黄色点的时候呢

我们还需要用到黄色点右边的那个点的值

我们得通过它来递推

类似的纵向的这两个橙色的点

它们在递推的时候

需要用到纵向的那个点的值来进行递推

所以刚才我们分析说他好像是要初值的

可后来又发现说

它的这个所谓初值也不是那么容易得到的

那这怎么办呢

我们怎么来给我们的整个递推定义一个

很容易的去找他们的初值呢

这就要向大家介绍一种技巧了

我们把这样的一个坐标的这种匹配的关系再画大一格

好像假想说 在A和B的这个序列后面呢

后面还有字符呢

它是一个什么都不是的字符的字符

就好像我们学过的字符串后面有一个/0一样

它们还有那么一个东西

在那个位置上它没有字符

那么既然没有字符呢

他们的任意匹配比较

它们的结果都必然是不匹配

所谓这如果要记住最长公共子序列的的贡献

必然只能是0

因为他们那根本就没有字母

所以不管你是什么情况

你只要在我们画的这个虚线的边角上呢

它的lcs就必然是0

这是一个非常容易设置的初始条件

我们写成这个数学表示

也就是说 lcs对于m开始的串

然后后面不管你是B从哪里开始他都是0

相对应的这个m对于A来讲

如果去和B的n开始的这个子序列去比较的话

那随便你怎么考虑

它们的最长的公共子序列必然也是0

所以我们的递推初值呢

最后就是这么

从图上看起来就是一横一竖的两个边界

最后我们来记录下最优的决策

显然既然我们递推可能要用到三个下标更大的值

所以我们只需要记录说到底所谓的最优决策

到底来自于这三个中的哪一个就行了

那请看我们的代码

那我们准备呢

首先就是要定义这个lcs

那么现在我们假设我预先知道说

我有很大很大的m和n

M N这两个数 它们足够大了

反正我的A和B需要的数都能装下

然后呢我需要去记录

到底这个最优的这个决策是哪个方向计算得来的

所以我定义了这么一个decision二维数组

然后对decision这个数组来讲

我当然需要记录到具体来自哪个方向呢

这个地方我们用到了

一种自定义的数据的类型叫枚举型

那枚举型呢是经常用来定义一些

就是自定义的一些常量

那么这个相关的语法细节呢

同学们可以自己去查阅相关的书

我们在这个课程里头就不仔细讲了

这是我们的动态规划的一个算法

根据刚才讲的我们首先要设定递推的初值

也就是说A这个子序列从m开始

实际上是没有字符的

然后对于B这个序列来讲不管你j取哪一个值

它们都是0

相应的不管A串里头的i取哪一个值

只要B串里头都是从n开始比较的那都是0

初值完了以后

我们就可以根据前面的递推的式子

去实现我们的代码了

那么看到分三种情况

如果Ai和Bj相等那么我们就记录一下

它们这个不亏的策略

就是往最长公共子序列贡献了一个长度的匹配

然后它的方向我们就用我们刚才枚举定义的一个值

它的标志符是A_j

那如果Ai和Bj不等呢

那么我们就要扔掉一个

扔掉一个呢有两种情况

所以我们这还有一个if

比较说扔掉哪一个更好

如果说我是扔掉了一个j

那么就是lcs[j+1]这个状态的最优解

如果扔掉的是A串里的那个i位置的字母

那么我所需要考虑的就是lcs[i+1,j]这么一个状态

会比较一下他们的最优的解的情况

而分别记录decision到底是哪一个

输出呢也很简单

我们根据decision去回溯

因为我们是从较大的下标往较小的小标进行递推的

所以回溯的时候呢我们自然从较小的下标

也就是说从0开始

所以我们这的初值

这个for循环从i=0 j=0开始

然后逐步的计算

如果decision告诉我们说它选择的是匹配

那么显然i和j都要往后移一个

如果decision告诉我们说

它扔掉的是i也就是说他要进一步考虑i+1的位置

那我们相应的就是i+1

否则的话呢是j+1

非常容易的就能够回溯

来构成我们整体的最优方案

这就是我们运用动态规划方法

来求最长公共子序列的代码

那么我们最后呢再提一点

也就是我们代码里头的

刚才我们定义数组的时候

用到了m M N两个足够大的常量

因为我们只有保证M肯定要比m要大的

N比n也是大的

那么有的同学问了

这原题是数从键盘输入两个串

那我哪知道运行的时候这个串会有多长呢

我怎么知道多大一个M N是够的呢

或者说我这个M和N特别大

用的2的几十次方这么大

因为我怕用户输的串太长

可实际用户输出的串又很短

空间全浪费了

我不想浪费空间

我精益求精 那怎么办

那我们当然是有办法的

就是怎么根据实际的这个字符串的

长短M和N来定义我们的数组呢

那这个就留待我们以后的课程再告诉大家

好今天的课程就到这里

谢谢大家

程序设计基础课程列表:

第一章 编程初步

-1.1 基础知识

--1.1.1 什么是程序?什么是语言?

--1.1.2 什么是程序设计?

--1.1.3 计算机发展史

-1.2 买菜问题

--1.2.1 问题描述

--1.2.2 程序的基本结构

-1.3 数学运算

--1.3.1 数学运算符

--1.3.2 数学函数

-1.4 补充说明

--1.4.1 编程环境的下载与安装

--1.4.2 程序基本结构中的含义

--1.4.3 格式与风格

-1.5 总结

--1.5 总结

-程设论道

--程设论道

-师生问答

--师生问答一:怎样学好程序设计

--师生问答二:语言选择

--师生问答三:关于函数

-第一章 编程初步--语法自测

第二章 变量与代数思维

-2.1 关于超级计算器的几点思考

--2.1.1 关于超级计算器的几点思考

-2.2 电子秤模拟 — 背景介绍及需求分析

--2.2.1 电子秤模拟 — 背景介绍及需求分析

-2.3 电子秤模拟 — 代码实现

--2.3.1 电子秤模拟 — 代码实现

-2.4 变量定义与变量类型

--2.4.1 变量定义与变量类型

-2.5 猜数游戏与数据表示

--2.5.1 猜数游戏与数据表示

-2.6 关于变量的讨论

--2.6.1 变量的初始值

--2.6.2 变量类型

--2.6.3 变量内存单元地址

--2.6.4 存“变量地址”的变量——指针

--2.6.5 指针的 读/写 操作

--2.6.6 指针的 加/减 操作

--公告

-2.7 变量体现的计算思维

--2.7.1 变量体现的计算思维

-程设论道

--程设论道

-师生问答

--师生问答

-第二章 变量与代数思维--语法自测

第三章 逻辑推理与枚举解题

-3.1 谁做的好事——语义表示

--3.1.1 谁做的好事——语义表示

-3.2 谁做的好事——真假检查

--3.2.1 谁做的好事——真假检查

-3.3 谁做的好事——循环枚举

--3.3.1 谁做的好事——循环枚举

-3.4 谁是嫌疑犯——多重循环枚举

--3.4.1 谁是嫌疑犯——多重循环枚举

-3.5 谁是嫌疑犯——破案线索表示

--3.5.1 谁是嫌疑犯——破案线索表示

-3.6 谁是嫌疑犯——用二进制枚举

--3.6.1 谁是嫌疑犯——用二进制枚举

-程设论道

--程设论道一

--程设论道二

--程设论道三

-师生问答

--师生问答一:字符与ASCII码表

--师生问答二:其他循环语句、运算符优先级与变量作用域

-第三章 逻辑推理与枚举解题--语法自测

第四章 筛法与查找

-4.1 插花游戏

--4.1.1 问题提出(求素数)

--4.1.2 函数初探

--4.1.3 运行演示

-4.2 筛法

--4.2.1 筛法思路

--4.2.2 数组的定义

--4.2.3 代码翻译

--4.2.4 运行演示

--4.2.5 小朋友数人数

--4.2.6 运行演示

--4.2.7 韩信点兵

-4.3 线性查找

--4.3.1 扑克查找问题

--4.3.2 扑克查找问题代码翻译

--4.3.3 最小值问题

--4.3.4 最小值问题代码翻译

-4.4 折半查找

--4.4.1 提问

--4.4.2 折半查找思路

--4.4.3 折半查找代码翻译

--4.4.4 折半查找运行演示

-4.5 排序问题

--4.5.1 插入排序

--4.5.2 选择排序

--4.5.3 函数写法

--4.5.4 运行演示

-4.6 总结

--4.6.1 总结

-程设论道

--程设论道一:数组与编码思维

--程设论道二:筛法

-师生问答

--师生问答一:函数与面向过程编程

--师生问答二:数组的下标越界

-第四章 筛法与查找--语法自测

第五章 分治思想与递归

-5.1 阶乘

--5.1.1 阶乘问题

--5.1.2 递归解法

--5.1.3 递归小结

-5.2 排序

--5.2.1 归并排序——总体思路

--5.2.2 归并排序——思路分解

--5.2.3 归并排序——代码解说

--5.2.4 快速排序——总体思路

--5.2.5 快速排序——代码解说

--5.2.6 排序总结

-5.3 矩阵填充

--5.3.1 矩阵填充问题

--5.3.2 代码解说

-5.4 分书与八皇后

--5.4.1 问题描述

--5.4.2 问题分析——共性

--5.4.3 问题分析——区别

--5.4.4 解题准备——二维数组

--5.4.5 解题准备——递归设计

--5.4.6 代码解说——分书问题

--5.4.7 代码解说——八皇后问题

-5.5 青蛙过河

--5.5.1 问题描述

--5.5.2 问题分析——简单情况

--5.5.3 问题分析——复杂情况

--5.5.4 问题分析——一般情况

-程设论道

--程设论道一

--程设论道二

-师生问答

--师生问答一

--师生问答二

-第五章 分治思想与递归--语法自测

第六章 递推与动态规划

-6.1 兔子数列问题

--6.1.1 问题描述

--6.1.2 按大小兔子分别递推

--6.1.3 按总数递推

--6.1.4 不用数组递推

-6.2 分鱼问题

--6.2.1 问题描述

--6.2.2 从A到E递推

--6.2.3 从E到A递推

-6.3 橱窗的插花问题

--6.3.1 问题描述

--6.3.2 题意理解与分析

--6.3.3 用枚举思想解题

--6.3.4 采用递推的优化算法

--6.3.5.1 采用动态规划算法—优化分析

--6.3.5.2 采用动态规划算法—递推代码

--6.3.5.3 采用动态规划算法—计算过程

--6.3.5.4 采用动态规划算法—输出方案

--6.3.6 动态规划总结

-6.4 最长公共子序列问题

--6.4.1 问题描述与理解

--6.4.2 问题分析

--6.4.3.1 动态规划解题(1)

--6.4.3.2 动态规划解题(2)

--6.4.3.3 动态规划代码

-程设论道

--程设论道一

--程设论道二

-师生问答

--师生问答

-第六章 递推与动态规划--语法自测

第七章 文本数据处理

-7.1 统计记录总数

--7.1.1 问题分析

--7.1.2 读文件操作

-7.2 统计活跃用户数

--7.2.1 问题分析

--7.2.2 字符串

--7.2.3 程序翻译与演示

-7.3 统计在线时长

--7.3.1 问题分析

--7.3.2 结构

--7.3.3 程序翻译与演示

--7.3.4 写文件操作

-7.4 总结

--7.4.1 总结

-程设论道

--程设论道

-师生问答

--师生问答

-第七章 文本数据处理--语法自测

第八章 非文本数据处理

-8.1 将数据组织成链表

--8.1.1 链表的基本概念

--8.1.2 代码讲解

--8.1.3 链表遍历与释放

-8.2 提高链表访问效率 —— 哈希链表

--8.2.1 简单的哈希算法

--8.2.2 算法实现

-8.3 以二进制文件存储链表

--8.3.1 二进制文件的操作方法

--8.3.2 代码讲解

-程设论道

--程设论道一

--程设论道二

-师生问答

--师生问答

-第八章 非文本数据处理--语法自测

第九章 可配置的程序设计

-9.1 自动售卖程序

--9.1.1 提出问题与初步设计

--9.1.2 细化实现订单处理

--9.1.3 使程序更健壮

-9.2 配制水果信息

--9.2.1 提出问题与设计文件格式

--9.2.2 实现订单处理功能

-9.3 指定界面语言

--9.3.1 提出问题与命令行参数

--9.3.2 实现程序功能

-程设论道

--程设论道

-师生问答

--师生问答

-第九章 可配置的程序设计--语法自测

6.4.3.2 动态规划解题(2)笔记与讨论

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