当前课程知识点:程序设计基础 > 第六章 递推与动态规划 > 6.4 最长公共子序列问题 > 6.4.3.2 动态规划解题(2)
然后考虑 递推方向 那么我们在计算
从i j代表的这个阶段的时候
对于这个阶段对应的唯一状态
根据我们的递推公式呢
我们显然是需要另外的三个状态的
而且呢这三个状态所代表的这个阶段的
i和j我们看到 它下标都是加1的
所以呢 我们的递推方向实际上是从
较大的下标往较小的下标这种方向来进行递推的
所以在这种情况下
我们确定初值要从比较大的下标开始考虑
那么请看这张图
我们还是用类似用坐标器的方式来表示
横坐标呢表示A序列上每个位置的字母
纵坐标呢是表示B序列上的字母
它们的一个交点呢就表示我们的状态
例如现在图上箭头所指的这么一个状态就表示
我是比较A从m-5个字母开始的序列
和B从n-4开始的序列去
求他们的最长公共子序列这么一个子问题
或者是说这么一个状态
所以我们考虑我们的递推了
如果我要递推顺利进行
那么显然我们说下标值最大的应该是
下标m-1和下标n-1它们的这个交点
那么这个应该是我们的一个初值
这个我们可以很容易的计算
因为从这开始的所谓的两个序列
其实就是两个字母很容易比较
那么有了这个之后呢
如果我们考虑这个A从m-2开始B从n-2开始呢
那么它还需要用到另外两个初值
那么进一步考虑
如果是A从m-3开始B还是n-2开始这么两个序列呢
还需要有一个初值
它对称位置A从m-2开始 B从n-3开始
又需要用到一个初值
所以我就发现说
我们的递推初始值除了m-1和n-1之外呢
我们的这个横向纵向其实都需要有初值
这是我们的一个结论
但是如果我们仔细去分析呢
又发现我们好像期望这个初值还有点小问题
图上这两个黄色的点 它们真的只是初值吗
而其实不是 我们要计算黄色点的时候呢
我们还需要用到黄色点右边的那个点的值
我们得通过它来递推
类似的纵向的这两个橙色的点
它们在递推的时候
需要用到纵向的那个点的值来进行递推
所以刚才我们分析说他好像是要初值的
可后来又发现说
它的这个所谓初值也不是那么容易得到的
那这怎么办呢
我们怎么来给我们的整个递推定义一个
很容易的去找他们的初值呢
这就要向大家介绍一种技巧了
我们把这样的一个坐标的这种匹配的关系再画大一格
好像假想说 在A和B的这个序列后面呢
后面还有字符呢
它是一个什么都不是的字符的字符
就好像我们学过的字符串后面有一个/0一样
它们还有那么一个东西
在那个位置上它没有字符
那么既然没有字符呢
他们的任意匹配比较
它们的结果都必然是不匹配
所谓这如果要记住最长公共子序列的的贡献
必然只能是0
因为他们那根本就没有字母
所以不管你是什么情况
你只要在我们画的这个虚线的边角上呢
它的lcs就必然是0
这是一个非常容易设置的初始条件
我们写成这个数学表示
也就是说 lcs对于m开始的串
然后后面不管你是B从哪里开始他都是0
相对应的这个m对于A来讲
如果去和B的n开始的这个子序列去比较的话
那随便你怎么考虑
它们的最长的公共子序列必然也是0
所以我们的递推初值呢
最后就是这么
从图上看起来就是一横一竖的两个边界
最后我们来记录下最优的决策
显然既然我们递推可能要用到三个下标更大的值
所以我们只需要记录说到底所谓的最优决策
到底来自于这三个中的哪一个就行了
那请看我们的代码
那我们准备呢
首先就是要定义这个lcs
那么现在我们假设我预先知道说
我有很大很大的m和n
M N这两个数 它们足够大了
反正我的A和B需要的数都能装下
然后呢我需要去记录
到底这个最优的这个决策是哪个方向计算得来的
所以我定义了这么一个decision二维数组
然后对decision这个数组来讲
我当然需要记录到具体来自哪个方向呢
这个地方我们用到了
一种自定义的数据的类型叫枚举型
那枚举型呢是经常用来定义一些
就是自定义的一些常量
那么这个相关的语法细节呢
同学们可以自己去查阅相关的书
我们在这个课程里头就不仔细讲了
这是我们的动态规划的一个算法
根据刚才讲的我们首先要设定递推的初值
也就是说A这个子序列从m开始
实际上是没有字符的
然后对于B这个序列来讲不管你j取哪一个值
它们都是0
相应的不管A串里头的i取哪一个值
只要B串里头都是从n开始比较的那都是0
初值完了以后
我们就可以根据前面的递推的式子
去实现我们的代码了
那么看到分三种情况
如果Ai和Bj相等那么我们就记录一下
它们这个不亏的策略
就是往最长公共子序列贡献了一个长度的匹配
然后它的方向我们就用我们刚才枚举定义的一个值
它的标志符是A_j
那如果Ai和Bj不等呢
那么我们就要扔掉一个
扔掉一个呢有两种情况
所以我们这还有一个if
比较说扔掉哪一个更好
如果说我是扔掉了一个j
那么就是lcs[j+1]这个状态的最优解
如果扔掉的是A串里的那个i位置的字母
那么我所需要考虑的就是lcs[i+1,j]这么一个状态
会比较一下他们的最优的解的情况
而分别记录decision到底是哪一个
输出呢也很简单
我们根据decision去回溯
因为我们是从较大的下标往较小的小标进行递推的
所以回溯的时候呢我们自然从较小的下标
也就是说从0开始
所以我们这的初值
这个for循环从i=0 j=0开始
然后逐步的计算
如果decision告诉我们说它选择的是匹配
那么显然i和j都要往后移一个
如果decision告诉我们说
它扔掉的是i也就是说他要进一步考虑i+1的位置
那我们相应的就是i+1
否则的话呢是j+1
非常容易的就能够回溯
来构成我们整体的最优方案
这就是我们运用动态规划方法
来求最长公共子序列的代码
那么我们最后呢再提一点
也就是我们代码里头的
刚才我们定义数组的时候
用到了m M N两个足够大的常量
因为我们只有保证M肯定要比m要大的
N比n也是大的
那么有的同学问了
这原题是数从键盘输入两个串
那我哪知道运行的时候这个串会有多长呢
我怎么知道多大一个M N是够的呢
或者说我这个M和N特别大
用的2的几十次方这么大
因为我怕用户输的串太长
可实际用户输出的串又很短
空间全浪费了
我不想浪费空间
我精益求精 那怎么办
那我们当然是有办法的
就是怎么根据实际的这个字符串的
长短M和N来定义我们的数组呢
那这个就留待我们以后的课程再告诉大家
好今天的课程就到这里
谢谢大家
-1.1 基础知识
-1.2 买菜问题
-1.3 数学运算
-1.4 补充说明
-1.5 总结
--1.5 总结
-程设论道
--程设论道
-师生问答
-第一章 编程初步--语法自测
-2.1 关于超级计算器的几点思考
-2.2 电子秤模拟 — 背景介绍及需求分析
-2.3 电子秤模拟 — 代码实现
-2.4 变量定义与变量类型
-2.5 猜数游戏与数据表示
-2.6 关于变量的讨论
--公告
-2.7 变量体现的计算思维
-程设论道
--程设论道
-师生问答
--师生问答
-第二章 变量与代数思维--语法自测
-3.1 谁做的好事——语义表示
-3.2 谁做的好事——真假检查
-3.3 谁做的好事——循环枚举
-3.4 谁是嫌疑犯——多重循环枚举
-3.5 谁是嫌疑犯——破案线索表示
-3.6 谁是嫌疑犯——用二进制枚举
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
--程设论道三
-师生问答
-第三章 逻辑推理与枚举解题--语法自测
-4.1 插花游戏
-4.2 筛法
-4.3 线性查找
-4.4 折半查找
--4.4.1 提问
-4.5 排序问题
-4.6 总结
--4.6.1 总结
-程设论道
--程设论道二:筛法
-师生问答
-第四章 筛法与查找--语法自测
-5.1 阶乘
-5.2 排序
-5.3 矩阵填充
-5.4 分书与八皇后
-5.5 青蛙过河
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
-师生问答
--师生问答一
--师生问答二
-第五章 分治思想与递归--语法自测
-6.1 兔子数列问题
-6.2 分鱼问题
-6.3 橱窗的插花问题
-6.4 最长公共子序列问题
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
-师生问答
--师生问答
-第六章 递推与动态规划--语法自测
-7.1 统计记录总数
-7.2 统计活跃用户数
-7.3 统计在线时长
--7.3.2 结构
-7.4 总结
--7.4.1 总结
-程设论道
--程设论道
-师生问答
--师生问答
-第七章 文本数据处理--语法自测
-8.1 将数据组织成链表
-8.2 提高链表访问效率 —— 哈希链表
-8.3 以二进制文件存储链表
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--程设论道一
--程设论道二
-师生问答
--师生问答
-第八章 非文本数据处理--语法自测
-9.1 自动售卖程序
-9.2 配制水果信息
-9.3 指定界面语言
-程设论道
--程设论道
-师生问答
--师生问答
-第九章 可配置的程序设计--语法自测