当前课程知识点:程序设计基础 > 第六章 递推与动态规划 > 6.3 橱窗的插花问题 > 6.3.4 采用递推的优化算法
我们用枚举的方法解决了橱窗的插花问题
有些敏感的同学可能已经发现了
这个枚举方法里头应该存在很多重复的计算
有什么重复的计算呢
我们可以来看
就用我们之前的例子
对于0号1号2号花插在0号1号2号花瓶的这种方案
我们去计算整个的美感得分和的时候
显然我们要把0号花插在0号花瓶的美感
加上1号花插在1号花瓶的美感加起来
然后再加上最后那朵花
插在2号花瓶里的美感值
但是对于另一种插花方案
就是我们这表示的01011的方案
我们首先是同样要把0号花1号花插在
前两个花瓶的美感得分和算出来
然后再加上最后一朵花插在3号花瓶的值
加在一起
如果我们还有第三种方案
它是10011的插花方案
那么前两朵花的美感得分和
还要加上第三朵花插在4号花瓶的美感值
所以对于这三种方案来讲
前两朵花的插花方案是相同的
表现在我们计算它们的美感得分和的时候
我们都需要把前两朵花的美感得分和算一遍
所以这部分的计算
我们实际上是算了好几次的
那么如果我们想把这个代码的效率提高
就应该想个办法 什么办法呢
当然为了避免重复计算
我们就需要把已经算过的结果保存起来
也就是说
我们需要保存一个部分的插花的美感得分和
比如说我们这为了解说方便
我们就给它取名字叫partial sum
就部分的美感得分和
那么对于前面的三种插花情况
我们最好能够保存一个11
这么一种插花方案的部分的美感得分和
那么再前进一步想一想
其实11这种方案的部分美感得分和
也应该是类似的方法计算出来的
也就是说实际上这种部分的美感和对11来讲
它应该是对于第一朵花
已经插在一个花瓶里的美感得分
再加上第二朵花插在一个
新的花瓶里的美感值
是这么相加计算得到的
也就是说
我们从一个特殊的情况细想
它其实应该是符合一种比较普遍的递推规律的
所以我们重新整理一下这样一个递推的式子
那就应该是这样的
对于某一种插花方案
i 当然在代码中间
我们知道它是一种二进制的表示
那么这样一种插花的方案
有可能是一个最终的方案
也可能只是插了一部分的花
那么我们都把它叫成partial_sum
这么一个得分的美感和
它是怎么计算得到的呢
它应该是去掉了最高位的那个1
所谓i的最高位的1
也就是我们最后 最晚插的那朵花
那朵花我们不看
我们看前面已经插的那些花
应该是前面那些花的部分美感的得分和
加上了最后一朵花
刚插上的这朵花的美感值
那么最后这朵花的美感值比较容易知道的
我们只要想一想它是在哪个位置呢
那就表示它对应的哪个花瓶
然后本身这朵花有它的编号
所以写成的递推公式大概是这个样子
那么这个递推公式
我们要考虑一下它的初始值是多少呢
我们可以想到
第一朵花插上去之前是没有花的
因此 我们的初值显然
是对于所有花瓶都不插花的状态
也就是i等于0的时候它的初值
那么既然所有花瓶都没有插花
我们可以认为整个的美感得分和
或者部分的美感得分和应该是0
这就是递推的一个初值
有了这个想法就可以知道
我们如果把枚举和递推结合起来
就能得到一个效率高一些的算法
那么在写具体代码之前
我们也需要再细化一下之前一个叫Count1的函数
原来我们只需要
数一下其中有几个1表示有几朵花
但现在我们还得知道这个方案里头
最后插的花在哪个位置
因为到时候i要减掉这个位置上的1
所以我们改写一下这个函数 增加了一个参数
大家看到我们用一个引用
作为函数的参数
用high表示在这个二进制表示中间
最高位的1到底是在哪个位上
那么在具体代码实现里头
我们high的赋初值是赋1
然后在数binary的1的个数的时候
顺便如果发现这一位是1
我们就把high置成这一个位置
所以当循环从0 一直到v位结束以后
就自然得到了最高位的1所在的位置
比较一下 我们的流程
把原来那个流程图稍微细化一下改变一下
加上新的递推思想就能得到一个新的流程图了
大家看一下我用红色标记在这里
我们现在多了一个部分美感得分和的数组
所以我们要重新定义一个数组
并且它的初值是0的时候 取值为0
然后在枚举方案中间
就不是简单的统计一个合法方案了
凡是所有的插花的数目小于等于f的
都是一种部分的插花方案
那么这个是我们要计算的具体插花方案
同时找到最高位的那个1
然后对于合法的部分方案
再去计算它的美感得分和
而且这时候计算用的是递推的方式
请看我们具体的代码
我们把新的部分补充上去
我们需要定义这一个数组
然后在枚举的时候
调用了ToBinary之后
还要调用新的count1函数
除了得到插花数量以后
还有最高位的1到底在哪里
然后我们判断它是不是一个合法的部分插花方案
对于合法的部分就可以
进行基于递推式子的计算
怎么去掉最高位的1
i减去了1 左移high位
那么最后那朵花到底插在那个花瓶里
美感值是多少呢
它所在花瓶的编号就是high的值
第几朵花呢
我们知道是第flowers朵花
所以它的编号应该是flowers减一
这样我们就能得到部分的美感和了
最后 如果部分插花方案
就是最终的方案 因为我们看到
flowers等于f表示正好插了f朵花
那么就应该考虑它是不是所求的最优方案
那么同样的维护一下最优的方案
和最优的方案下的美感得分和
就可以了
-1.1 基础知识
-1.2 买菜问题
-1.3 数学运算
-1.4 补充说明
-1.5 总结
--1.5 总结
-程设论道
--程设论道
-师生问答
-第一章 编程初步--语法自测
-2.1 关于超级计算器的几点思考
-2.2 电子秤模拟 — 背景介绍及需求分析
-2.3 电子秤模拟 — 代码实现
-2.4 变量定义与变量类型
-2.5 猜数游戏与数据表示
-2.6 关于变量的讨论
--公告
-2.7 变量体现的计算思维
-程设论道
--程设论道
-师生问答
--师生问答
-第二章 变量与代数思维--语法自测
-3.1 谁做的好事——语义表示
-3.2 谁做的好事——真假检查
-3.3 谁做的好事——循环枚举
-3.4 谁是嫌疑犯——多重循环枚举
-3.5 谁是嫌疑犯——破案线索表示
-3.6 谁是嫌疑犯——用二进制枚举
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
--程设论道三
-师生问答
-第三章 逻辑推理与枚举解题--语法自测
-4.1 插花游戏
-4.2 筛法
-4.3 线性查找
-4.4 折半查找
--4.4.1 提问
-4.5 排序问题
-4.6 总结
--4.6.1 总结
-程设论道
--程设论道二:筛法
-师生问答
-第四章 筛法与查找--语法自测
-5.1 阶乘
-5.2 排序
-5.3 矩阵填充
-5.4 分书与八皇后
-5.5 青蛙过河
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
-师生问答
--师生问答一
--师生问答二
-第五章 分治思想与递归--语法自测
-6.1 兔子数列问题
-6.2 分鱼问题
-6.3 橱窗的插花问题
-6.4 最长公共子序列问题
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
-师生问答
--师生问答
-第六章 递推与动态规划--语法自测
-7.1 统计记录总数
-7.2 统计活跃用户数
-7.3 统计在线时长
--7.3.2 结构
-7.4 总结
--7.4.1 总结
-程设论道
--程设论道
-师生问答
--师生问答
-第七章 文本数据处理--语法自测
-8.1 将数据组织成链表
-8.2 提高链表访问效率 —— 哈希链表
-8.3 以二进制文件存储链表
-程设论道
--程设论道一
--程设论道二
-师生问答
--师生问答
-第八章 非文本数据处理--语法自测
-9.1 自动售卖程序
-9.2 配制水果信息
-9.3 指定界面语言
-程设论道
--程设论道
-师生问答
--师生问答
-第九章 可配置的程序设计--语法自测