当前课程知识点：微积分I > 拓展阅读 > 5 不定积分建模应用 > 微积分简要介绍

返回《微积分I》慕课在线视频课程列表

微积分简要介绍在线视频

返回《微积分I》慕课在线视频列表

微积分简要介绍课程教案、知识点、字幕

同学们好

我是微积分这门课程的主讲老师

在学习课程之前

我们先对课程作一个简单介绍

简单来说

微积分是一门以变量为研究对象

以极限方法作为研究工具的数学学科

应用极限方法

研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题

就产生了微分学

应用极限方法

研究诸如曲边梯形的面积等

涉及到微小量无穷积累的问题

就产生了积分学

英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹

同时创立了微积分

微积分研究的主要对象就是函数

下面

我们稍微介绍一下

微积分产生的相关问题

到了十七世纪

有许多科学问题需要解决

这些问题也就成了促使微积分产生的因素

归结起来

大约有四种主要类型的问题

第一类是研究运动的时候直接出现的

也就是求即时速度的问题

第二类问题是求曲线的切线问题

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题

第四类问题是求曲线长

曲线围成的面积

曲面围成的体积

物体的重心

一个体积相当大的物体

作用于另一个物体上的引力等问题

围绕着解决上述四个核心的科学问题

微积分问题至少被十七世纪

十几个最大的数学家

和几十个小一些的数学家探索过

其创立者一般认为是牛顿和莱布尼兹

在此

我们主要来介绍这两位大师的工作

牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》

这本书

直到1736年才出版

它在这本书里指出

变量是由点线面的连续运动产生的

否定了以前自己认为的

变量是无穷小元素的静止集合的观点

他把连续变量叫做流动量

把这些流动量的导数叫做流数

牛顿在流数术中所提出的中心问题是

已知连续运动的路径

求给定时刻的速度

即微分法

已知运动的速度

求给定时间内经过的路程

即积分法

德国的莱布尼兹

是一个博才多学的学者

1684年

他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献

这篇文章有一个很长而且很古怪的名字

一种求极大极小和切线的新方法

它也适用于分式和无理量

以及这种新方法的奇妙类型的计算

就是这样一篇说理也颇含糊的文章

却有划时代的意义

它已含有现代的微分符号和基本微分法则

1686年莱布尼兹发表了第一篇积分学的文献

他是历史上最伟大的符号学者之一

他所创设的微积分符号

远远优于牛顿的符号

这对微积分的发展有极大的影响

现今我们使用的微积分通用符号

就是当时莱布尼兹精心选用的

十七世纪以来

微积分的概念和技巧

不断扩展并被广泛应用来解决天文学

物理学中的各种实际问题

取得了巨大的成就

但直到十九世纪以前

在微积分的发展过程中

其数学分析的严密性问题

一直没有得到解决

十八世纪中

包括牛顿和莱布尼兹在内的

许多大数学家都觉察到这一问题

并对这个问题作了努力

但都没有成功地解决这个问题

整个十八世纪

微积分的基础是混乱和不清楚的

许多英国数学家

也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚

因而怀疑微积分的全部工作

这个问题一直到十九世纪下半叶

才由法国数学家柯西得到了完整的解决

柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性

这就是极限理论的创立

极限理论的创立使得微积分

从此建立在一个严密的分析基础之上

它也为20世纪数学的发展奠定了基础

下面

我们给大家介绍一下该课程的基本结构

就象做家具一样

我们的原材料是木材

工具是锯子和榔头等

用不同的加工方式做出不同的家具

在我们这个课程里也是一样

我们的原材料就是函数

工具就是极限

利用不同的极限形式得到不同的微积分内容

比如

我们用极限定义了导数

又用极限定义了积分等

具体是怎么定义的

本课程将会详细介绍

最后

我们给大家介绍一下将要学习的内容

包括一元微积分和多元微积两部分

其中

一元微积分部分有

(1) 极限与连续

(2) 导数与微分

(3) 中值定理和导数的应用

(4) 不定积分

(5) 定积分及应用

(6) 无穷级数

(7)微分方程与差分方程

其中

多元微积分部分有

(1)多元函数的极限与连续

(2)偏导数与全微分

(3)方向导数与梯度

(4)几何应用与极值问题

(5)多重积分

(6)曲线积分与曲面积分

其中本学期课程只学习一元微积分学中的

(1)至(4)的内容

今天就讲到这里

谢谢

微积分I课程列表：

导言课程介绍

-微积分简要介绍

第一章函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一函数图形

第二章极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二求极限

第三章导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三求导数

第四章中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四求函数最值

第五章不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

微积分简要介绍笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。