当前课程知识点：微积分I > 第四章 中值定理与导数的应用 > 4.3 函数的单调性与极值 > 4.3.3 函数的极值--第一判定法
同学们好
今天我们学习函数的一个重要概念
就是函数的极值
什么是函数的极值呢
我们先来看下面的图
以便获得函数极值的直观概念
从图中我们可以看出
函数的曲线在一些地方
形成了所谓的峰顶或谷底
在这些点处
如果取一个足够小的邻域
那么在这个小的邻域里
函数在峰顶或谷底处
达到了最大值或最小值
如图上的x₁ x₂ x₄等这些点
简洁点说
就是函数在此处取到了局部最值
下面就告诉大家
具有上述特点的点
就是我们今天要讲的函数的极值点
此点处的函数值
称为函数的极值
下面我们给出函数极值的数学定义
设函数f(x)在x₀的某个邻域有定义
且当x属于该邻域时
恒有f(x) 则称f(x₀)为 f(x)的一个极大值 如果当x属于该邻域时 恒有f(x)>f(x₀) 则称f(x₀)为 f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 关于极值我们做几点说明 1、函数的极值不一定总是存在的 这是显然的 比如严格单调的函数 如函数y=x³ 从图上可以看出 它不存在极值 2、从定义可以看出 由于在区间的端点处 函数只在半边邻域有定义 所以函数极值必在区间的内部取得 3、极值是局部性的概念 极大值不一定比极小值大 比如图上的x₆和x₂ 函数在x₆取得极小值 在x₂处取得极大值 但是x₆处的函数值 大于x₂处的函数值 下面我们来学习如何求得函数的极值 先看极值的必要条件 由费马引理我们有下面的结论 设x₀是f(x)的极值点 且f(x)在点x₀可导 则必有f'(x₀) = 0 这个定理告诉我们 可导的极值点处的导数一定为零 也就是说一定为驻点 但反之不然 驻点不一定是极值点 如y=x³次方的驻点为x=0 但它不是极值点 此外 不可导点也可能是极值点 如y=|x|在x=0处不可导 但却是极小值点 但函数的不可导点也不一定是极值点 如y=³√x 在x=0处不可导 却不是极值点 这就是说 极值点要么是驻点 要么是不可导点 两者必居其一 我们把驻点和孤立的不可导点 统称为极值可疑点 下面给出一个充分条件 用来判别这些极值可疑点 是否为极值点 我们称为第一判定法 也称为第一充分条件 设函数f(x)在x₀处连续 在x₀的某去心邻域内可导 （1） 若x∈ (x₀ -δ , x₀)时 f'(x) >0 x∈ (x₀, x₀+δ)时 f'(x) <0 则x₀为极大值点 若x∈ (x₀ -δ , x₀)时 f'(x) <0 x∈ (x₀, x₀+δ)时 f'(x) >0 则x₀为极小值点 如果在上述两个区间内f'(x) 同号 则x₀不是极值点 定理的正确性从直观上看 是显然的 在点x₀处 如果函数的导数是左正右负 说明函数在点x₀左边 是单调递增上来的 在点x₀右边是单调递减下去的 则在点x₀成一个峰值 就是我们前面看到的 极大值的直观情形 同理 极小值的情形 也可以类似理解 如果在点x₀左右两侧的导数同号 说明左右两侧函数的单调性是相同的 则在点x₀处 不能形成峰值或谷底 从而不会形成极值的情形 定理严格的数学证明 我们不在这里给出了 大家可以在课后 遵循上面的直观解释的思路 去完成证明 下面我们看一个例子 求函数f(x) = x³ -3x² - 9x + 5的极值 由于这个函数不存在不可导点 所以它的极值点 只有可能在驻点处取得 所以求导数 f'(x) = 3x² - 6x -9 =3(x+1)(x-3) 令f'(x) =0 得驻点x₁=-1 x₂=3 列表讨论 由表中我们可以看出 利用驻点-1和3 把函数的定义域分成三个区间 我们分别讨论每个区间内 函数导数的符号和相对应的单调性 在区间(-∞, -1)内 由于函数的导数是正的 所以函数单调增加 我们用一个斜向上的箭头表示 在区间(-1, 3)内 函数的导数是负的 所以函数单调减少 我们用一个斜向下的箭头表示 类似讨论区间(3,+∞) 函数是单调增加的 这样根据极值点的第一充分条件就知道 -1点处 函数导数左正右负 为极大值点 x=3处 函数导数左负右正 为极小值点 相应的极值为 极大值f(-1)=10 极小值f(3) = -22 事实上我们也可以看出 上述方法 在求出函数极值的同时 也求得了函数的单调区间 从而我们进一步可以得知 函数的极值点 也是函数单调区间的分界点 我们再看下面一个例子 求出函数f(x)=1-(x-2)⅔的极值 沿用前面的方法 先求导数 f'(x)= (-2/3) (x-2)⁻⅓ x≠2 当x=2是 f'(x)不存在 同时也注意到 函数没有驻点 因此我们只讨论 x=2左右两侧的导数符号 当x<2时 f'(x)>0 当x>2时 f'(x)<0 所以f(2)=1 为 f(x)的极大值 这个例子告诉我们 不可导点也可以是函数的极值点 事实上 这个函数的图形如下 我们再看最后一个例子 设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续 其导函数的图形如图所示 则f(x)有 （A）一个极小值点和两个极大值点 （B）两个极小值点和一个极大值点 （C）两个极小值点和两个极大值点 （D）三个极小值点和一个极大值点 根据导函数的图形可知 一阶导数为零的点有3个 而x=0则是导数不存在的点 三个一阶导数为零的点 左右两侧导数符号不一致 必为极值点 且两个极小值点 一个极大值点 在x=0左侧一阶导数为正 右侧一阶导数为负 可见x=0为极大值点 故f(x)共有两个极小值点 和两个极大值点 应选C 最后我们做一个小结 求极值的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求导数f'(x) （3）求定义域内部极值嫌疑点 即驻点或一阶导数不存在的点 （4）用极值的充分条件判定 今天就讲到这里 谢谢
-1.1 预备知识
--1.1.2本节作业
-1.2 函数的概念
--1.2.2 本节作业
-1.3 函数的基本特性
--1.3.2 本节作业
-1.4 反函数与复合函数
--1.4.2 本节作业
-1.5 基本初等函数与初等函数
--1.5.2 本节作业
-1.6 经济学中几个常见的函数
--1.6.2 本节作业
-第一章单元练习
--习题训练
-2.1 数列的极限
--2.1.3 本节作业
-2.2 函数的极限
--课堂思考
--2.2.4 本节作业
-2.3 无穷小量与无穷大量
--课堂思考
--2.3.4 本节作业
-2.4 极限的性质
--课堂思考
--2.4.4 本节作业
-2.5 两个重要极限
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--2.5.9 本节作业
-2.6 函数的连续性
--课堂思考
--2.6.6 本节作业
-第二章单元练习
--习题训练
-3.1 导数的概念
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--3.1.7 本节作业
-3.2 求导法则
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--课堂思考（三）
--3.2.8 本节作业
-3.3 高阶导数
--3.3.3 本节作业
-3.4 函数的微分
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--3.4.8本节作业
-3.5 导数与微分的简单应用
--3.5.4本节作业
-第三章单元练习
--习题训练
-4.1 中值定理
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--4.1.7 本节作业
-4.2 洛必达法则
--课堂思考
--4.2.4 本节作业
-4.3 函数的单调性与极值
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--4.3.5 本节作业
-4.4 函数的最值及应用
--4.4.3 本节作业
-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点
--课堂思考
--4.5.4 本节作业
-4.6 函数的微分法作图
--课堂思考
--4.6.5 本节作业
-第四章单元练习
--习题训练
-5.1 不定积分的概念与性质
--5.1.4 本节作业
-5.2 换元积分法
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--5.2.5 本节作业
-5.3 分部积分法
--课堂思考
--5.3.2 本节作业
-5.4 有理函数的积分
--5.4.3 本节作业
-第五章单元练习
--习题训练
