当前课程知识点:微积分I > 第四章 中值定理与导数的应用 > 4.6 函数的微分法作图 > 4.6.2 函数曲线的竖直渐近线
同学们好
今天我们学习竖直渐近线的求解方法
首先竖直渐近线一定为平行于y 轴的直线
它的方程形式为x=x₀
我们先观察一个例子
来看函数的曲线与竖直渐近线
是怎么样的一种间接关系
如正切函数y=tanx
我们画出它的函数图形
可以看出直线x=±π/2
都是它的竖直渐近线
因为在x=π/2处
当自变量在π/2的左侧无限接近π/2时
函数的曲线无限上升
此时
曲线上动点到直线x=π/2的距离
即为曲线上动点的横坐标x
与点π/2的距离
并且曲线上升的越高
即动点的y 值越大
x就与π/2越接近
也就是说
曲线上的动点
距离直线x=π/2越近
这样就说明正切曲线在y方向的正无穷远处
与直线x=π/2无限接近
根据定义x=π/2
就是正切曲线的一条竖直渐近线
同理可解释 等于-π/2
也是它的一条竖直渐近线
由上面的例子我们可以得出
竖直渐近线一定为平行于y 轴的直线
函数的曲线
要与这样的直线在无穷远处无限接近
就必然是在y 轴方向的无穷远处
无限接近
这样函数值y就必为无穷大量
同时必有x无限接近x₀
也就是说
当x 无限接近x₀时
函数值y 就变为无穷大量
从而我们得到
下面寻找竖直渐近线的方法
如果lim x→x₀+ f(x)=∞
或lim x→x₀- f(x)=∞
那么x=x₀就是y=f(x)的一条竖直渐近线
也就是说
如果函数在某点x₀附近为无穷大量
则直线x=x₀
就为曲线的一条竖直渐近线
这样寻找函数曲线的竖直渐近线
就是寻找满足上面性质的点
例如下面的函数
y=1/(x+2)(x-3)
通过观察
当x无限接近-2或3时
由于分母为无穷小量
从而函数为无穷大量
这样x=-2和x=3
为函数曲线的两条竖直渐近线
并且在直线x=-2的左侧和x=3的右侧
曲线在y 方向的正无穷远处
与其渐近
在直线x=-2的右侧和x=3的左侧
曲线在y 方向的负无穷远处
与其渐近
根据函数在一点处极限了几种情形
我们列出常见的
竖直渐近线的几种情形
第一种情形
我们称为单侧渐近
就是说曲线只在渐近线的一侧
在无穷远处与其无限接近
对应的极限形式为
limx→x₀⁺=∞
与lim x→x₀⁻ f(x)=∞
这两个单侧无穷极限
只有其一成立
当然
上述情形还可以进一步细分
即上面的无穷大量
可以分为正无穷大量
或负无穷大量
这个留作课后去进一步思考
第二种情形
我们称为双侧渐近
就是说曲线在渐近线的两侧
同时在无穷远处与其无限接近
对应的极限形式为
limx→x₀ f(x)=∞成立
同理
这个情形也可以进一步
把无穷大量细分为正无穷大量或负无穷大量
大家看下面的例子
就是双侧同时渐近的两种情形
对于函数y=1/x
在直线x=0的左侧
在y方向的负无穷远处
与其渐近
在直线x=0的右侧
在y 方向的正无穷远处与其渐近
对于函数y =1/x²
在直线x=0的两侧
同时在y方向的正无穷远处
与其渐近
同学们也可以举例说明其他的渐近情形
我们看最后一个例子
求函数y=(1+eˣ)/(1-eˣ)的竖直渐近线
通过观察这个函数
除了零点外
处处连续
并且在零点附近分母为无穷小量
从而函数为无穷大量
下面我们来考察函数在零点处的极限
先看右极限lim x→0⁺ (1+eˣ)/(1-eˣ)
因为在x→0⁺时 x>0
所以1-eˣ<0
所以极限为负无穷大量
再看左极限limx→0⁻ 1+eˣ /1-e ˣ
此时x<0
从而1-eˣ>0
所以左极限为正无穷大量
所以x=0为一条竖直渐近线
并且在直线x=0的左侧
曲线在y 方向的正无穷远处与x=0渐近
在直线x=0的右侧
曲线在y 方向的负无穷远处
与x=0渐近
最后我们稍微总结一下
求函数曲线的竖直渐近线
关键是寻找函数为无穷大量的点
另外大家可以思考一下
一个函数曲线可以有多少个竖直渐近线
今天就讲到这里
谢谢
-1.1 预备知识
--1.1.2本节作业
-1.2 函数的概念
--1.2.2 本节作业
-1.3 函数的基本特性
--1.3.2 本节作业
-1.4 反函数与复合函数
--1.4.2 本节作业
-1.5 基本初等函数与初等函数
--1.5.2 本节作业
-1.6 经济学中几个常见的函数
--1.6.2 本节作业
-第一章单元练习
--习题训练
-2.1 数列的极限
--2.1.3 本节作业
-2.2 函数的极限
--课堂思考
--2.2.4 本节作业
-2.3 无穷小量与无穷大量
--课堂思考
--2.3.4 本节作业
-2.4 极限的性质
--课堂思考
--2.4.4 本节作业
-2.5 两个重要极限
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--2.5.9 本节作业
-2.6 函数的连续性
--课堂思考
--2.6.6 本节作业
-第二章单元练习
--习题训练
-3.1 导数的概念
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.1.7 本节作业
-3.2 求导法则
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--课堂思考(三)
--3.2.8 本节作业
-3.3 高阶导数
--3.3.3 本节作业
-3.4 函数的微分
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.4.8本节作业
-3.5 导数与微分的简单应用
--3.5.4本节作业
-第三章单元练习
--习题训练
-4.1 中值定理
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.1.7 本节作业
-4.2 洛必达法则
--课堂思考
--4.2.4 本节作业
-4.3 函数的单调性与极值
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.3.5 本节作业
-4.4 函数的最值及应用
--4.4.3 本节作业
-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点
--课堂思考
--4.5.4 本节作业
-4.6 函数的微分法作图
--课堂思考
--4.6.5 本节作业
-第四章单元练习
--习题训练
-5.1 不定积分的概念与性质
--5.1.4 本节作业
-5.2 换元积分法
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--5.2.5 本节作业
-5.3 分部积分法
--课堂思考
--5.3.2 本节作业
-5.4 有理函数的积分
--5.4.3 本节作业
-第五章单元练习
--习题训练