当前课程知识点:微积分I > 第四章 中值定理与导数的应用 > 4.3 函数的单调性与极值 > 4.3.2 函数的单调性应用
同学们好
今天我们学习
函数单调性的两个应用
一、是用来证明不等式
二、是用来讨论方程的根的性质
主要是唯一性
我们先看第一个应用
利用单调性证明不等式
看例1
当x>0时
试证x>ln(1+x)成立
我们把不等式变形为x-ln(1+x)>0
这样一来就变成了需要证明
函数x-ln(1+x)
在当x>0时 大于0
通过观察我们发现
函数x-ln(1+x)
在x=0时的函数值
也恰好等于零
这样需要证明的不等式就变成了
f(x)>f(0)的形式了
如果 f(x)单调增加的
那么问题就解决了
因此
设 f(x)=x-ln(1+x)
则f'(x)= x / (1+x)
因为f(x) 在[0,+∞)上连续
在[0,+∞)上可导
且f'(x) >0
所以f(x) 在[0,+∞)上单调增加
所以当x>0时
f(x)>f(0)
而f(0) =0
所以f(x)>0
即 x > ln(1+x)
由这个题目我们发现
利用单调性证明不等式
1、是选择适当的函数
2、选择适当的区间
3、利用单调性
比较端点的函数值
一般可以得到
需要证明的不等式
我们再看例2
证明不等式eˣ>1+x (x≠0)
模仿上一个例子
我们也把要证明的结论变形为
eˣ-1-x>0
同上
令f(x)=eˣ-(1+x)
则f'(x)=eˣ-1
由于函数的导数
在x≠0时 有正有负
为此我们分开讨论
当x>0时 f'(x)>0
所以f(x) 在[0,+∞)上单调增加
所以f(x)>f(0)=0
即eˣ>1+x
在x<0时 f'(x)<0
所以f'(x) 在(-∞,0]上单调减少
所以f(x)>f(0)=0
即eˣ>1+x
综上所述
在x≠0时 总有eˣ>1+x
下面我们看第二个应用
利用单调性讨论方程根的唯一性
我们看例3
证明方程(π/4)+x+arctan x =0
有且只有一个实根
这个题目有两个问题需要回答
一是方程根的存在性
二是唯一性
回顾前面
我们在证明方程的根的存在性时
学习过两个定理
一个是连续函数的介值定理
一个是罗尔定理
下面我们试一下介值定理
设f(x) = π/4+x+arctan x
f(0) = π/4
f(-1) = -1
显然 f(x)在[-1,0]上连续
由零点存在定理知
函数f(x)至少有一个零点
又f'(x) = 1+ [1/(1+x²)]> 0
所以f(x) 单调增加
所以f(x) 至多只有一个零点
所以f(x)=0 有且只有一个实根
讲完这个题目可能有同学会问
区间 [-1,0]是怎么得出来的
注意到
这个题目中的区间 [-1,0]不是必须的
也就是说
也可以选取其他区间
只不过-1和零点处的函数值
比较容易求得
并且重要的是函数值异号
最后我们做一个小结
证明单调性
主要是选择适当的区间
利用导数
得出函数在该区间上的单调性
然后利用单调性
比较函数在端点上的值
得到所证明的不等式
讨论方程根的性质
主要是利用单调性
得出方程根的唯一性
今天就讲到这里
谢谢
-1.1 预备知识
--1.1.2本节作业
-1.2 函数的概念
--1.2.2 本节作业
-1.3 函数的基本特性
--1.3.2 本节作业
-1.4 反函数与复合函数
--1.4.2 本节作业
-1.5 基本初等函数与初等函数
--1.5.2 本节作业
-1.6 经济学中几个常见的函数
--1.6.2 本节作业
-第一章单元练习
--习题训练
-2.1 数列的极限
--2.1.3 本节作业
-2.2 函数的极限
--课堂思考
--2.2.4 本节作业
-2.3 无穷小量与无穷大量
--课堂思考
--2.3.4 本节作业
-2.4 极限的性质
--课堂思考
--2.4.4 本节作业
-2.5 两个重要极限
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--2.5.9 本节作业
-2.6 函数的连续性
--课堂思考
--2.6.6 本节作业
-第二章单元练习
--习题训练
-3.1 导数的概念
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.1.7 本节作业
-3.2 求导法则
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--课堂思考(三)
--3.2.8 本节作业
-3.3 高阶导数
--3.3.3 本节作业
-3.4 函数的微分
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.4.8本节作业
-3.5 导数与微分的简单应用
--3.5.4本节作业
-第三章单元练习
--习题训练
-4.1 中值定理
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.1.7 本节作业
-4.2 洛必达法则
--课堂思考
--4.2.4 本节作业
-4.3 函数的单调性与极值
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.3.5 本节作业
-4.4 函数的最值及应用
--4.4.3 本节作业
-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点
--课堂思考
--4.5.4 本节作业
-4.6 函数的微分法作图
--课堂思考
--4.6.5 本节作业
-第四章单元练习
--习题训练
-5.1 不定积分的概念与性质
--5.1.4 本节作业
-5.2 换元积分法
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--5.2.5 本节作业
-5.3 分部积分法
--课堂思考
--5.3.2 本节作业
-5.4 有理函数的积分
--5.4.3 本节作业
-第五章单元练习
--习题训练