2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）在线视频

同学们

前面两次内容中

我们学习的极限四则运算法则

是在函数的极限存在条件下进行的

那么函数的极限是否存在

我们该如何来判断呢

事实上

极限计算包含两个方面

一、是判别给定极限的存在性

二、是求给定极限的值

也就是说

计算极限

需先确定函数的极限是否存在

但判别极限的存在性常常是困难的

所以本讲将讨论极限的两个存在准则

它们既给出了判别极限存在的依据

也给出了计算极限的方法

一、 夹逼准则及其应用

首先

(1) 夹逼准则的一般形式

设在自变量的一定趋势下有

g( x )≤ f( x ) ≤h( x )

并且 lim g( x )= A = lim h( x )

并且 lim g( x )= A = lim h( x )

则 lim f( x )存在

并且有lim f( x )=A

由于涉及微积分公理体系

对夹逼准则不作证明

准则1 对应于数列的形式

如果数列｛xₙ｝｛yₙ｝｛zₙ｝满足下列条件

① yₙ ≤xₙ ≤zₙ

② lim n→∞ yₙ =lim n→∞ zₙ =a

则数列xₙ极限存在

并且lim n→∞ xₙ=a

准则一的说明

条件1仅仅是局部性要求

其中三个数列｛xₙ} ｛yₙ} {zₙ｝

一般项的不等式关系yₙ ≤ xₙ ≤zₙ

并不要求对数列中一切项都成立

而只需在数列的某一项之后成立即可

即只要求存在 N > 0

使得当 n > N 时此不等式成立

同样在夹逼准则的一般形式中

三函数的不等式关系

g( x ) ≤f( x )≤ h( x )

并不要求对一切的x都成立

只需在点x₀的某个邻域内成立

或者在当|x|足够大以后成立即可

下面讨论夹逼准则的应用

构造优势函数

夹逼准则是利用已知极限存在的函数

g( x ) 、h( x )判别和确定

所论函数 f( x )极限的存在性

并求其极限

这种已知极限存在的函数

g( x ) 、h( x )称为优势函数

对于具体问题而言

所论函数 f( x )是给定的

而优势函数 g( x ) 、h( x )

通常却是未知的

需要根据问题的具体情况去观察和构造

构造优势函数通常采用缩放法

即通过对给定函数 f( x )

作适当放大或缩小

以构造出所需的优势函数 g( x ) 、h( x )

例 求函数极限lim x→0 cosx

我们做个简单分析

由于函数 y= cos x 仅是个形式表达式

不具有运算意义

故无法直接计算其极限

由几何直观容易看出

当 x → 0 时有 cos x → 1

因此可考虑设法证明这一结果

即证明 1 - cos x → 0

函数 1 - cos x 的形式虽很简单

但其极限仍无法直接计算

为此考虑通过缩放法构造优势函数

并利用夹逼准则确定其极限

具体求解为

利用夹逼准则进行计算

记f ( x )= 1 - cos x

则当 0 ≤| x |≤π /2 时有

0≤f(x)=1-cosx=2sin²(x/2)≤2 (x/2)²=x²/2

由此可选取优势函数 g( x )= 0

h(x)=x²/2

由于lim x→0 g(x) =lim x→0 0=0

lim x→0 h(x) =lim x→0 x²/2 =0

于是由夹逼准则可以得到

lim f(x) x→0

lim x→0 f(x) =lim x→0 (1-cosx)=0

这就求出lim x→0 cosx =1

二 、单调有界准则及其应用

1. 数列收敛的单调有界准则

数列的单调性

分单调增加和单调减小两种情形

按数列变化的单调性的不同

数列的单调有界准则

可以表示为两种具体形式

准则Ⅱ

单调增加而有上界的数列是收敛的

准则Ⅱ'

单调减小而有下界的数列是收敛的

微积分是近代数学的源头

其基本理论的建立

最初主要是源于解决实际问题

但后来的发展

显出了其基础理论的不足

经过十九世纪的公理化浪潮后

人们建立了基于公理体系的微积分理论

这套公理体系由七条等价公理构成

数列的单调有界准则

就是这七条等价公理之一

单调有界准则是不能独立证明的

而只能在承认七条等价公理之一后

由其它公理等价导出

单调有界准则给出了一种

判断数列收敛性的方法

对于由递归式定义的数列

这一方法常常是行之有效的

此外

数列的单调有界性准则

进一步揭示了数列的三类基本性质

有界性

单调性和收敛性之间的联系

单调有界准则不仅建立了一种

判别数列收敛方法

实际也给出了计算数列极限的途径

因为确定了数列的收敛性

便可应用极限的各种运算法则

求其极限

下面通过例子来说明

单调有界准则的应用

例

设xₙ= (1·2·3···n)/(1·3·5·(2n-1))

求lim n→∞ xₙ

我们来分析一下

由于该数列是一个递推式

给出了相邻项 xₙ 和 xₙ₊₁之间的关系

故可以考虑

采用单调有界准则确定其极限

具体求解如下

首先说明数列的极限是存在的

由于该数列各项非负

即对于一切的 n

有xₙ=(1·2···n)/(1·3···(2n-1)) ＞0

有xₙ=(1·2···n)/(1·3···(2n-1)) ＞0

因此给定数列有下界

又因为xₙ₊₁/xₙ=(n+1)/(2n+1)＜1

所以该数列单调递减

由单调有界准则可知

该数列极限存在

其次

求该数列的极限

设lim n→∞ xₙ =a

在xₙ₊₁=xₙ·(n+1)/(2n+1)的两边取极限

有lim n→∞ xₙ₊₁ =(lim n→∞ xₙ )·(lim n→∞ (n+1)/(2n+1))

得到a=a/2

即a=0

这表明lim n→∞ xₙ =0

以上例子的解法

体现了利用单调有界准则

求递推式数列极限的一般解法

它可以归结为如下步骤

①判别数列是否单调有界

② 若是设所求极限为l

并通过在 xₙ 与 xₙ₊₁的关系式两边取极限

建立关于l的方程

③解方程求出 l

并确定数列唯一的极限值

下面我们总结一下

同学们

今天我们重点介绍了

极限存在的夹逼准则与单调有界准则

下次我们将利用存在准则

讨论一些重要极限

好了

同学们今天的内容就到此为止

谢谢大家