当前课程知识点：微积分I >  第四章 中值定理与导数的应用 >  4.4 函数的最值及应用 >  4.4.2 最值的应用

返回《微积分I》慕课在线视频课程列表

4.4.2 最值的应用在线视频

下一节:4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

返回《微积分I》慕课在线视频列表

4.4.2 最值的应用课程教案、知识点、字幕

同学们好

在实际问题中

我们经常遇到非闭区间上函数的最值问题

此时我们就要用到上次讲的结论

如果函数在区间内部有唯一极值

这次极值即为相对应的最值

下面我们用例题来说明它的应用

先看例1

将边长为a的正方形铁皮

四角各截去相同的小正方形

折成一个无盖的方盒

问如何截使方盒的容积最大为多少

设小正方形的边长为x

这方盒的容积为

v =x(a-2x)²

x∈(0，a/2)

这是一个定义

在开区间上的连续函数

求导数得

v'=(a-2x)(a-6x)

令导数等于0

解方程得唯一驻点x=a/6

为了判定者唯一驻点是否是极值点

再求二阶导数

v ''=24x-8a

从而求出此驻点处的二阶导数

V''(a/6)=-4a<0

所以此驻点为极大值点

从而知道函数在此点取得最大值

所以当x=a/6时v有最大值

v(a/6)=(2/27)a³

下面我们再看一个例子

要做一个容积为v的圆柱形罐头筒

怎样设计才能使所用材料最省

这道题目里的所用材料最省就意味着表面积最小

所以这个题目的目标函数为表面积函数

设底半径为r 高为h

则容积V=πr²h

由此得h=v/(πr²)

所以表面积函数为

s=2πr²+2πrh=2πr²+2v/r

r∈(0，+∞)

求导数得s'=4πr-2v/r²=2/r²(2πr³-v)

得唯一驻点r=³√(v /2π)

很显然

此驻点处的导数左负右正

是极小值点

即为最小值点

此时h=V/πr²=Vr/πr³=2r

即高于底面直径相等

及设计高与底面直径相等时

所用材料最省

下面我们看几个函数最值

在经济学当中的应用问题

1、平均成本最小问题

设成本函数为c(x)=800+x²/200

则平均成本为C一拔等于

C(x)/x=800/x+x/200

C'一拔等于

-800/(x²)+1/200

令它等于零

得驻点x=400

因为C''一拔等于

1600/x³>0

所以当x=400时

平均成本最低

此时平均成本和边际成本均为4

一般当平均成本最低时

平均成本与边际成本相等

2、最大利润问题

我们看例子

是某产品的需求函数为Q=50-5P

成本函数为C=50+2Q

求产量为多少时利润最大

显然这个问题的目标函数为利润函数

为此我们下面列出利润函数

由需求函数解出P=10-Q/5

则利润函数L(Q)=PQ-C=(10-Q/5)Q-(50+2Q)=8Q-Q²/5-50

0≤Q≤50

求出利润函数的导数

L'=8-0.4Q

得注点Q=20

而L''=-0.4＜0

故当Q=20时利润最大

一般利润函数为L(Q)=R(Q)-C(Q)

其中Q为产量

这当L'(Q)=R'(Q)-C'(Q)=0

即MR(Q₀)=MC(Q₀)时

利润最大

其中MR和MC分别表示边际收益和边际成本

生产商为获得最大利润

应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平

这是微观经济学的一个重要结论

3、最优批量库存问题

某厂生产某种商品

其年销售量为100万件

每批生产需增加准备费1000元

而每一件商品的库存费为0.05元

如果年销售率是均匀的

即商品库存数为批量的一半

问应分几批生产才能使准备费和库存费之和最小

设分x批生产

则生产准备费和库存费之和为

F(x)=1000x+(1000000/2x)0.05=1000x+25000/x

这个函数的第一部分好理解

是x批的准备费之和

第二部分为库存费

我们稍微解释一下

因为总量为一百万

分x批生产

那么每一批生产的量为1000000/x

由于是均匀销售

所以平均而言相当于每批生产的产品

只有一半

占了库存

由于每个批次的产量都是一样

所以全年的库存相当于一个批次产量的一半

从而第二部分的库存费为

(1000000/2x)0.05

下面求它的导数

F'(x)=1000-25000/x²

令它等于零

得唯一驻点x=5

而f''＞0

故当x=5时F最小

上面的例子中

当我们求出目标函数在区间内部的唯一驻点时

我们又进一步判定了

它是不是极值点

以及是极大值还是极小值

实际上在实际应用问题中

如果根据实际问题分析

能够知道目标函数一定有最优解

那么当我们求出目标函数只有唯一驻点时

就可以省略进一步判定

它是不是极值点这一步

而且可以直接断定

此时的唯一驻点

就是目标函数的最优解

今天就讲到这里

谢谢

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

4.4.2 最值的应用笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:


  1. 摩擦学理论(2021秋)

  2. 计算机网络工程实践(2021秋)

  3. 对外汉语教学概论(2021秋)

  4. 关于长笛演奏与教学的基本问题(2021秋)

  5. 基础工程学(2021秋)

  6. 烧伤外科学(2021秋)

  7. 西语国家国情文化概况(2021秋)

  8. 现代生化仪器分析(2021秋)

  9. 组织行为学(2021秋)

  10. 力学——通向物理学殿堂的大门(2021秋)

  11. 微积分I(2021秋)

  12. 牙体解剖与雕刻技术(2021秋)

  13. 教育研究通关秘籍(2021秋)

  14. 创新与产业发展(2021秋)

  15. 数字图像处理(2021暑假班)

  16. 环境核算与管理(2021暑假班)

  17. 物联网技术与应用(2021秋)

  18. 生活中的化工原理（上）(2021秋)

  19. 高级护理实践案例(2021秋)

  20. 无机合成原理及技术(2021秋)
© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。