当前课程知识点：微积分I >  第二章 极限与连续 >  2.3 无穷小量与无穷大量 >  2.3.3 无穷大量的定义

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2.3.3 无穷大量的定义在线视频

下一节:2.4.1 极限的几个性质

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2.3.3 无穷大量的定义课程教案、知识点、字幕

同学们

前面几讲中我们已经学习了无穷小的定义性质

以及阶的比较

由于无穷大概念和无穷小概念

有着密切的联系

因而也在微积分讨论中起着重要作用

函数只有当极限存在时

讨论其极限才有意义

因此人们通常关注的是函数极限存在的情形

然而有一类极限不存在的情形

也受到人们的特别关注

这就是函数趋于无穷的情形

在此情形下

函数极限虽不存在

但却有着和存在极限时类似的性质

此外

这种函数值趋于无穷的变化趋势

还和无穷小有着密切的联系

下面我们来看无穷大量的定义

在x→x₀时的无穷大是指

设函数f( x )在点x₀的某一去心邻域内有定义

如果对于任意给定的正数M

无论它多么大

总存在正数δ

使得对于适合不等式 0＜|x-x₀|＜δ 的一切x

对应的函数值 f(x)都满足不等式

| f( x )|> M

那么就称函数 f( x )当x→x₀时候为无穷大

记作lim x→x₀ f(x)=∞

x→∞ 时候的无穷大是指

函数 f( x )在 | x |大于某正数时有意义

如果对任意给定的正数M

无论它多么大

总存在正数 X 使得对于适合不等式

| x |> X 的一切 x

对应的函数值 f( x )都满足不等式

| f( x )|>M

那么就称函数f(x)当x→∞时为无穷大

记作lim x→∞ f(x) =∞

下面我们将讨论无穷大

与无界函数的区别和联系

无穷大与无界函数

都对应于函数 y = f( x )的函数值

变化可无限增大的情形

但二者在概念上却是不同的

为弄清这两个概念的区别和联系

x →x₀ 时的无穷大量与在点 x₀ 的邻域内

的无界函数的定义重述如下

x→x₀ 时的无穷大是指

对∀M>0 存在δ>0

使得对满足x∈U (x₀,δ) 的一切 x

有 | f( x )|> M

而点 x₀ 的邻域的无界函数

是指对∀M > 0 及∀δ> 0

总存在一个 x* ∈U (x₀,δ)

使得| f( x * )|> M

结果归纳可以看出

(1)无穷大量必为无界函数

而无界函数未必是无穷大

(2) 数列 ｛xₙ｝为无穷大 ⇔｛xₙ｝的

任何子列｛xₙₖ｝都以∞为极限

(3) 数列｛xₙ｝无界 ⇔｛xₙ｝存在

趋于无穷的子列｛xₙₖ｝

另外我们需要注意以下几点

1. 无穷大是极限不存在的特殊形式

记作lim f(x) 当x 趋于某个量的时候等于无穷大

并不代表x趋于某个量时

函数的极限存在

而是极限不存在的一种特殊形式

之所以采用这种记号

其原因是

无穷大量虽不能趋于一个确定的数

但却有确定的变化趋势

此时它具有和函数极限存在的情形

相类似的性质

2. x→x₀时无穷大量的几何特征

铅直渐近线

从几何上看

若lim x→x₀ f(x)=±∞

则当x→x₀时

函数 y = f( x )图形向直线 x = x₀ 不断靠近

故此时称直线x = x₀

为函数 y = f ( x )的图形的一条铅直渐近线

无穷大的重要性

除了它是一种极限不存在的特殊形式以外

还在于它与无穷小有着密切的联系

这种联系对于函数极限的讨论和计算有重要作用

所以下面我们来讨论它与无穷小之间的关系

定理

无穷大与无穷小的关系

在自变量的同一变化过程中

如果 f( x ) 为无穷大

则1/f(x) 为无穷小

反之

如果f(x) 为无穷小

且f(x)≠0

则1/f(x)为无穷大

该定理也可以理解为

无穷大的倒数为无穷小

非零无穷小的倒数为无穷大

利用这样的关系

可以方便我们后续的极限计算

下边我们总结一下

同学们

今天我们重点介绍的是无穷大量的基本定义

以及它与无穷小之间的关系

这一讲的内容就到此为止

谢谢大家

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

2.3.3 无穷大量的定义笔记与讨论

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