1.4.1 反函数与复合函数在线视频

下面我们来学习第四讲反函数与复合函数

一 反函数

定义 假设函数y=f (x)是定义域为D值域为 Z

如果对每一个属于值域的y

存在属于定义域里唯一的x使得f (x)=y

则x是一个定义在Z上的函数

则称为y=f(x)的反函数

记为x=f⁻ ¹(y）

函数 y =f (x)与函数 x =f⁻ ¹(y）是互为反函数

下面我们来计算一下

例1 求函数y=3x-1的反函数

解

由 y=3x-1

计算得出 x=（y+1）/3

由习惯性的我们将x为自变量

y为因变量

所以将得出来的 (y+1)/3

将其中的x与y互换

就得出所求的反函数为 y=(x+1)/3

由此可见

如果要求函数的反函数

先根据原函数找出x

然后将x与y互换

就可以得出习惯上书写的反函数

就是以x为自变量 y为因变量

函数y=f（x）与其反函数y=f⁻ ¹(x）

互为反函数

它们是关于y=x对称

也就是直接函数与反函数的图形

是关于y=x对称的

一个函数如果有反函数

它的定义域与值域必定是一一对应关系

也就是定义域内的唯一的x

总有唯一的y值与之对应

同样值域里面的唯一的y

总有唯一的x与之对应

比如在全体实数范围之内

y=x² 就不具备相应的一一对应关系

所以它没有反函数

但是

在(0, +∞)内 y=x² 是有反函数 y=√x

在(-∞, 0)内y=x² 是有反函数 y=-√x

例2 求函数 y=(a ˣ-a ⁻ˣ)/2

其中x属于全体实数 a>0

并且a≠1的反函数

解 将原式化为

aˣ -a⁻ˣ -2y=0

可以推出 a²ˣ-2yaˣ-1=0

整理可以得出

（aˣ-y）²=1+y²

按理就可以得出

aˣ=y±√(1+y²)

但是这里因为a的x次方是大于零的数

所以说

aˣ=y-√(1+y²)省略

因此所得的x为log以a为底y+√(1+y²）为真数的对数函数

习惯性写成以x为自变量

y为因变量

所以所求的反函数为

y等于log以a底

真数为x+√(1+x²）

二 复合函数

假设函数

y=f(u)的定义域与u=g(x) 的值域交集非空

则y=f[g(x)]是由y=f(u) 与u=g(x)复合构造的复合函数

其中u为中间变量

例如 y=arcsin u 和u=x²

可以复合成 y=arcsin x²

注意 不是任何的两个函数

都可以复合成一个函数

因为如果要能够复合成一个函数

必须外围的y=f (x)的定义域

与u=g(x)值域交集非空

所以不是任何的函数都可以复合成一个函数

比如y=f( u)=arcsin u 而u=2+x²

就不能复合成一个函数

原因是 arcsin u的定义域范围 ∣u∣≤1

u=2+x² 的值域为大于等于2

所以它们两个的交集是空集

因此 y=arcsin u 和u=2+x² 就不能复合

复合要注意复合次序

比如 f(x)=sin x g(x)=x²

则 f[g(x)]=sin x ²

而 g[f(x)]=sin ² x

另外复合也可以多次进行

如函数 y=√lg（sin x²）可以看成是

由下列函数 y=√u

u=lg v v=sinω

ω=x²复合而成的复合函数

例3 假设函数y=f (x)的定义域为[0,3a]

其中a>0

求 函数 g(x)=f(x+a)+f(2x-3a) 的定义域

由函数的定义的计算思路

要使函数有意义

我们就要求 f(x+a)的取值范围

和 f(2x-3a) 定义取值范围

均在[0,3a]的范围之内

也就是0≤x+a≤3a 0≤2x -3a ≤3a

联立求解可以得出x的范围为[3a/2,2a]的闭区间

因此g(x)的定义为闭区间[3a/2, 2a]

基于需要 要理解

如何将一个复杂的函数分解为

几个简单的函数的复合运算或者四则运算

比如y= ³√（ x+√ （1+x²））

解 函数是由y= ³√u

u=x+ω ω=√t t=1+x²复合而成的

这样的拆分主要便于我们后面的计算

除了讲复合函数拆分或者复合以外

我们还要能够学会通过一个复合函数

找它的原函数

例5 假设f(1/x -1)=sin x 求f(x)

解

令t=1/x-1 则j计算出x=1/(t+1)

所以可以得出f(t)=sin(1/t+1)

由于我们所求的是以x为自变量

所以将上式中的t换成x

于是就可以求出

所求的f(x)为sin(1/x+1)

由此例题我们看这样的计算使用代换的方法

那么请大家再思考一下

还有没有其它的计算方法

比如对f(1/x -x)=x² +1/ x²

如果要求求f(x)

用上面的方法做起来可以吗

如果可以的话是不是感觉比较复杂

那么请大家再看一下

因为1/x-x与 x² +1/ x² 有关

根据复合函数计算原函数还有一种思路

是由复合函数的式子整理出来再来计算

小结一下

本讲主要讲的是复合函数和反函数

复合函数的里面要注意清楚

复合函数的形成与复合构成的分解

以及由复合函数找出原函数

另外反函数我们要掌握法函数的基本计算方法

要 求得来 一个函数的反函数

以及它的习惯上的反函数

本讲有关函数和反函数相关知识到此结束

谢谢