当前课程知识点：微积分I >  第三章 导数与微分 >  3.2 求导法则 >  3.2.3 反函数的导数

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3.2.3 反函数的导数在线视频

下一节:3.2.4 复合函数的求导法则

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3.2.3 反函数的导数课程教案、知识点、字幕

同学们好

这一讲我们来学习反函数的导数的求导法则

来看定理

如果函数x=φ(y)在某区间Iᵧ内单调 可导

且φ'(y)=0

那么它的反函数

y=f(x)在对应区间Iₓ内也可导

且有f'(x)=1/φ'(y)

即反函数的导数等于直接函数导数的倒数

注意 定理里面的直接函数指的是原来的表达式x=φ(y)

而定理中所说的反函数指的是

直接从x=φ(y)中解得的y=f(x)

下面来看定理的证明

由于函数x=φ(y)在某区间Iᵧ内单调 可导

从而必然连续

所以其反函数y=f(x)在相应区间内也是单调连续函数

任取x∈Iₓ

给x以增量∆x

注意这里的∆x≠0 且x+∆x∈Iₓ

由y=f(x)的单调性可知

当∆x≠0时 ∆y≠0

由于两者都不为0

所以(∆y/∆x)改写为1/(∆x/∆y)

由于反函数y=f(x)是连续函数

所以∆x→0时 ∆y→0

由已知条件

f'(x)等于(∆y/∆x) 当∆x→0的时候的极限

我们把这个式子里面的(∆y/∆x)作恒等变形

变到分母上去

把它变成是(∆x/∆y)

由于∆x→0 必然带动∆y→0

所以把这个极限符号下面的表达式改写为∆y→0

注意 x=φ(y)是可导的

所以 分母取极限刚好就是φ'(y)

这样我们就证明了f'(x)=1/φ'(y)

本讲课的结论

反函数的导数等于直接函数导数的倒数

下面来看例题

例题1

求函数y=arcsinx的导数

解 函数y=arcsinx对应的就是定理中的反函数

而其直接函数就是直接从这个式子中反解出的表达式x=siny

由于x=siny在(-π/2,π/2)内必然是单调的 可导的

且我们对(siny)'求导数是等于cosy

它是大于0的

满足定理的条件

所以由定理可得

反函数的导数等于直接函数导数的倒数

所以 在Iₓ=(-1,1)内有arcsinx这个反函数的导数

就等于1/(siny)'

把(siny)'=cosy代进去

这样就得到这个导数等于1/cosy

现在我们来把结果想办法转化成x的函数

由已知条件知 x=siny

所以把结果转化为siny就可以达到目的

利用三角恒等式cosy=√(1-sin²y)

再将x=siny代入

所以(arcsinx)'=1/√(1-x²)

用相似的方法

我们可以得到公式(arccosx)'=-1/√(1-x²)

同理 我们还有下面两个公式

(arctanx)'=1/(1+x²)

(arccotx)'=-1/(1+x²)

这两个公式的证明

我们留给同学们作为本讲课的思考题

一起来看例题2

求函数y=logₐx的导数

解 这里y=logₐx是定理中的反函数y=f(x)

而其直接函数就是x=aʸ

注意 函数满足定理的条件

即直接函数x=aʸ在Iᵧ=(-∞，+∞)内单调 可导

且(aʸ)'=(aʸ)lna≠0

所以当x在(0,+∞)内有(logₐx)'=1/(aʸ)'

而(aʸ)'=(aʸ)lna

将结果中的aʸ用x来替换

就得到对数函数的求导公式

(logₐx)'=1/(xlna)

特殊地

如果把a取成e (lnx)'=1/x

最后

今天的思考题就是我们前面提到的

证明(arctanx)'=1/(1+x²)

同学们课后完成吧

谢谢大家

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

3.2.3 反函数的导数笔记与讨论

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