3.1.2 导数的定义在线视频

同学们好

今天我们要学习的内容是导数的定义

上一讲我们已经讲到了导数定义的两个引例

第一个是求

变速直线运动的物体

它的瞬时速度

第二个是求平面曲线在给定的点处的切线的斜率

注意到这两个引例的共同点是一样的

都是计算的自变量的改变量分之

所对应的函数值的改变量

让自变量的改变量趋于零的时候的极限

数学家把这个思想抽象出来

就给出了函数的导数的定义

导数的定义指的是

设函数y=f(x)在点x₀的某邻域内有定义

如果对于自变量x在点x₀的改变量Δx

x₀+Δx属于以x₀为心的邻域

也就是在它的定义域里面

和对应的函数值的改变量Δy

等于f(x₀-Δx)-f(x₀)

比值Δy/Δx

当Δx→0时有极限

则称函数f(x)在点x₀可导

并称此极限

为函数f(x)在点x₀处的导数记作f'(x₀)

即f'(x₀)等于Δy/Δx

当Δx→0的时候的极限

具体来说把Δy写出来的话

我们的函数的导数f'(x₀)就等于lim (Δx→0)

[f (x₀)+Δx)-f (x₀) ]/Δx

我们把这种写法称为导数定义的形式一

如果这个式子的极限不存在

就称函数f (x) 在x=x₀

这点处不可导

下面来看导数定义式的其他形式

比如把Δx替换成变量 h

或者变化过程改为x→x₀

相应的分子就要改变成f(x)-f(x₀)

分母就要改为x-x₀

这样我们就得到导数定义的第二种形式

f'(x₀)=lim(x→x₀)(f(x)-f(x₀))/(x-x₀)

两个定义的形式虽然不同

但是实质都是求函数因变量的改变量与自变量的

增量比值的极限

导数的符号

我们把它记为f'(x₀)

它还有三种等价形式

写出来是y'在后面加一个竖线

右下方写上x=x₀

或者是写成dy/dx

同样加一个竖线在右下方写上x=x₀或者是

df(x)/dx

在后面加竖线右下方写上x=x₀

在导数的定义中有以下三点

请大家特别注意

(1)导数的实质是变化率

Δy/Δx标示的是

因变量y当Δx→0时在区间上的平均变化率

在实际应用中常把y对x 的导数

在x=x₀这一点处的值称为是

变量y 对变量x 在x₀点的变化率

它表示函数值的变化相对于自变量的变化的快慢

这样曲线的切线的斜率可以说成是

曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率

速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率

第二点

导数的背景

在物理上表现为角速度

加速度 线密度

电流强度等

具体来说

加速度就是速度对于时间的变化率

角速度就是旋转的角度

对于时间的变化率

线密度就是物质线段的质量

对线段长度的变化率

导数在化学上表现为反应速度等等

在经济学上表现为边际成本等

(3)导数的定义式中

减去的项f(x₀) 必须是函数f(x)在x₀的函数值

而分子分母中的Δx形式要相同

下面请看例题1

例题1设函数f(x)

在点x₀处可导求lim( Δx→0)

[f(x₀+Δx) -f(x₀-Δx)]/Δx

我们先分析一下

由于已知函数f(x)在点x₀处可导

对比导数的定义式一

我们必须在分子中插入正负f(x₀)

然后裂项组合才能够得到结果

我们来看具体的求解过程

解 原式等于limΔx→0

我们在分子上给它减去一个f(x₀)

然后再在后面给它减一个负的f(x₀)

再用极限的运算准则

和差的极限等于极限的和差

上式就可以化为下面这两个式子

大家注意看这两个式子

注意到后面一个极限式的分子中

自变量的改变量是负的Δx

所以裂项以后

我们要把原来的分母也改为负的Δx

相当于把上式中间的这个减号放到了分母上

现在用导数的定义

可以得到第一个极限等于f'(x₀)

后面这个极限式也等于f'(x₀)

所以最后的答案等于2f'(x₀)

我们指出

如果函数y=f(x)在开区间I中的每一点都可导

则称函数f(x)在区间I上是可导的

这时对每一个x 属于I

f'(x)=lim(Δx→0)

[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

f'(x)可以看成是定义在I上的一个新的函数

称它为原来的函数f(x)的导函数

简称导数

也可以说成y对x的导数

并记作y'或者是dy/dx 或者是df(x)/dx

下面来看单侧导数的概念

大家知道

极限存在的充分必要条件是

左右极限存在且相等

而导数也是一个极限

那相应于导数的理论是什么

我们先来看左右导数的定义

设函数y=f(x)在点x₀的

某个左邻域内有定义

若左极限 f′(x₀)

我们在这个符号的右下方写上一个负号

若左极限

等于lim(x→x₀⁻)(f(x)-f(x₀))/(x-x₀)

那么把分子的这个终点处的函数值

具体的写出来

这个表达式就变为Δx→0⁻

[f(x₀+Δx) -f(x₀)]/Δx

如果这一个左极限存在

我们就称此极限为f (x)

在x₀这 一点处的左导数

我们把它记为f'(x₀)

所以在这个符号的右下方要加上一个负号

就在这个f 的下方

同理可定义右导数记为f'₊(x₀)

在这个f 的右下角写上一个加号

左右导数统称为单侧导数

关于单侧导数

我们有如下的定理

函数y=f(x)

在x₀这一点处可导

当且仅当函数在x₀的

左右导数存在且相等

左右导数通常用来求分段函数

在分段点的导数

下面来看例题2

讨论函数f(x)=|x|

在x=0这一点处的可导性

注意到函数f(x)=|x|

其实是一个分段函数

当x≥0的时候

f(x)=x

而x<0的时候

f(x)=-x

而x=0是其分段点

大家可以看一下ppt上这个函数的图形

所以这个问题我们用左右导数的定义来讨论

把自变量的改变量Δx写成h

那么

自变量的改变量分之所对应的函数值的改变量

我们算出来就等于|h|/h

下面我们让h→0⁺去算这个式子的极限

h如果从大于0趋于0

那么绝对值符号去掉的话

分子直接就是h

所以在x=0这一点处的右导数

我们算出来就等于+1

那么我们去计算左导数的话

我们就让h→0⁻

让h从小于0去趋于0去算这个式子的极限

那么把绝对值符号去掉

分子h的绝对值取出来就是-h

所以我们算出lim -h/h

当h→0⁻的时候

这个极限算出来是-1

从而左导数是-1

右导数是+1

在0这一点处的左右导数的值就不相等

根据定理

左右导数不相等了

所以函数y=|x| 在x=0这一点处不可导

最后我们来小结一下今天的内容

今天主要讲了两个知识点

1 导数的定义

请同学们记住导数y对x的导数

在x=x₀这一点处的值

是变量y对变量x在指定的点

x=x₀这一点处的变化率

第二个知识点是单侧导数

请同学们牢记定理

y=f(x)在x₀这一点处可导

它的充分必要条件是

函数在x₀这一点处的左右导数存在且相等

课后我们给同学留了一个思考题

请同学们用

单侧导数的定义试着做一下

今天的学习就到这里了

谢谢大家