当前课程知识点：微积分I >  第四章 中值定理与导数的应用 >  4.1 中值定理 >  4.1.4 拉格朗日中值定理

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4.1.4 拉格朗日中值定理在线视频

下一节:4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

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4.1.4 拉格朗日中值定理课程教案、知识点、字幕

同学们好

上次我们学习了罗尔定理及其应用

今天我们来学习拉格朗日中值定理

我们先看

拉格朗日中值定理的内容

如果函数f(x)满足

（1） 在闭区间[a, b]上连续

（2）在开区间(a, b)内可导

则至少存在一点ξ∈(a, b)内

使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

我们注意到

拉格朗日中值定理

比罗尔定理少了一个端点值相等的条件

结论也变成了在开区间(a, b)内存着一点ξ

使得函数在ξ处的导数等于这一个比值

[f(b)-f(a)]/(b-a)

很显然

如果加上端点值相等这个条件

这个比值就为零了

这样就变成了罗尔定理的结论了

因此

我们可以看出罗尔定理从这个意义上讲

就是拉格朗日中值定理的特殊情形

下面我们再看一下拉格朗日中值定理的几何意义

我们先看定理结论的比值

[f(b)-f(a)]/(b-a)的几何意义

从图上可以得知

A点的坐标为（a,f(a)）

B点的坐标为(b,f(b))

因此

比值[f(b)-f(a)]/(b-a)的几何意义

就是弦AB所在直线的斜率

而f'(ξ)就是图上C₁点处切线的斜率

这样一来

拉格朗日中值定理的几何意义

就是满足定理条件的函数的曲线弧上

一定存在一点处的切线平行于弦

如图所示的C₁和C₂

我们接着看

由上面 我们知道拉格朗日中值定理

比罗尔定理少了个条件

那么

我们现在再加上这个条件

即端点值相等

我们就发现弦AB就平行于X轴了

这就回到了罗尔定理的情形

这样一来

我们就发现

从几何意义上看

罗尔定理其实就是拉格朗日中值定理中

当弦AB平行于X轴的情形

反过来我们也可以这样看

在拉格朗日定理的情形下

我们只需要旋转一下坐标轴

使得弦AB平行于X轴

也回到了罗尔定理的情形

同理

在罗尔定理的情景下

我们也可以旋转坐标轴

使之转化成拉格朗日定理的情形

这样一来

我们可以看出罗尔定理和格朗日定理在本质上是相同的

下面我们稍微总结下罗尔定理和拉格朗日定理的关系

1、拉格朗日定理少了条件f(a)=f(b)

拉格朗日定理的本质是

坐标旋转后的罗尔定理

3、与罗尔定理的几何意义

统一叙述为

连续光滑的曲线弧上一定存在平行弦的切线

下面我们对拉格朗日中值定理进行证明

回顾前面 我们学习的

利用罗尔定理证明等式的思想方法

我们首先把定理的结论变形为

f'(ξ)·(b-a)-(f(b)-f(a))=0

要想证明这个结论

根据罗尔定理

我们需要构造一个函数

使得它的导数为

f'(x)·(b-a)-[f(b)-f(a)]

这样的函数容易构造

只需要令

F(x)= f(x)·(b-a)-[f(b)-f(a)]x

这个函数在区间[a,b]上的连续性和可导性是显然的

所以只需要验证F(x)满足

在区间[a,b]的端点值相等即可

下面我们进行验证

F(a)= f(a)·(b-a)-[f(b)-f(a)]a=bf(a)-af(b)

F(b)= f(b)·(b-a)-[f(b)-f(a)]b=bf(a)-af(b)

这样 我们就得到F(x)满足

在闭区间[a,b]上满足罗尔定理的条件

于是存在ξ∈(a,b)

使F'(ξ)=f'(ξ)·(b-a)-[f(b)-f(a)]=0

即

f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

下面我们举个例子验证一下

拉格朗日中值定理的正确性

看例1

f(x)=lnx在[1,e]上满足拉格朗日定理的条件

我们寻找一下

在区间[1,e]内是否存在满足定理结论的点ξ

我们先求出ln(x)的导数 1/x

令1/x=[f(e)-f(1)]/(e-1)=1/(e-1)

可以得出x=e-1

并且e-1落在区间[1,e]内

从而我们得到满足定理结论的ξ为e-1

下面我们看一下

拉格朗日中值定理的里的另外一个形式

也就是我们下面要讲到的有限增量公式

我们把拉格朗日中值定理的结论

f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)改写成如下形式

f(b)=f(a)+f'(ξ)·(b-a)

其中ξ介于a和b之间

下面我们把ξ换个形式写

写成如下形式显然是可以的

f(b)=f(a)+f'[a+θ(b-a)]·(b-a)

θ大于0 小于1

也就是说用a+θ(b-a)代替了ξ

下面我们不妨令a=x₀

b-a=Δx

也就是说

让函数f(x)在x₀处

让自变量x取了增量Δx

那么

f(b)-f(a)=f(x₀+Δx)-f(x₀)=Δy

就是函数在x₀处相应的增量

于是上述公式就变成了

Δy=f'(x₀+θΔx)·Δx

0＜θ＜1

这个公式我们称为有限增量公式

是拉格朗日中值定理的另外一种形式

回顾我们前面学过的微分

我们知道

函数在一点处的微分dy

是函数在此点处函数增量的良好近似值

dy与函数的增量之间差一个高阶无穷小量

今天我们得到的有限增量公式

却是函数增量的精确表达式

请同学们注意二者细微的区别

最后我们做个小结

今天讲了下面三点

（1） 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广

（2） 二者的几何意义可以统一为

连续光滑的曲线弧上存在平行弦的切线

（3）有限增量公式

今天就讲到这里

谢谢

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

4.1.4 拉格朗日中值定理笔记与讨论

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