当前课程知识点:微积分I > 第四章 中值定理与导数的应用 > 4.3 函数的单调性与极值 > 4.3.4 函数的极值--第二判定法
同学们好
前面我们学习了
利用函数的一阶导数判定极值的方法
也称为一阶导数法
今天我们继续学习
用二阶导数来判定函数极值的方法
称为二阶导数法
下面利用函数的二阶导数
我们给出如下判定法
设函数f(x)在它的驻点x₀处二阶可导
则
(1) 如果f''(x₀)>0
则x₀为极小值点
(2) 如果f''(x₀)<0
则x₀为极大值点
(3) 如果f''(x₀)=0
则无法判断
这个定理告诉我们
只需要看驻点处的二阶导数符号
就可以判定函数的极值
这个方法也称为二阶导数非零法
它的优点是不需要看驻点处两侧的导数符号
只看此点的二阶导数即可
从做题的步骤上讲
要简洁一些
但它也有两个缺点
一 是当二阶导数等于零时
二是当二阶导数不存在时
无法判定函数在此点是不是极值点
需要用其他手段进一步判定
至于它的正确性
可以这样理解
比如当f''(x₀)>0时
意味着一阶导数在此点处
处于单调增加的状态
既然x₀点是驻点
那就有f'(x)=0
这样就说明在x₀左侧一阶导数是负的
在x₀右侧一阶导数是正的
据第一判别法
一阶导数左负右正
此点为极小值点
当f''(x₀)<0时
可以做同样的分析
对于第三种情况
当f''(x₀)=0时
我们举例说明即可
比如y=x³与y=x⁴
二者在x=0处的二阶导数都为零
一个是极值点
一个不是极值点
定理的严格数学证明
可以按照上面的分析思路
用数学语言严格写出的即可
这里不再给出
下面看一个例子
求函数f(x)=x³-3x²-9x+5的极值
我们先求出函数的导数
f'(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3)
令f'(x)=0 得驻点x₁=-1 x₂=3
继续求二阶导数
f''(x)=6x-6
因为f''(-1)=-12<0
故f(-1)=10是极大值
f''(3)=12>0
故f(3)=-22是极小值
可以看出
如果只是求函数的极值点
这个方法要比第一判定法要简洁一些
但是第一判别法有个好处
就是不仅得到了函数的极值点
同时也得到了函数的单调区间
而且第一判别法
对二阶导数不存在的点仍然适用
我们再看例2
求函数f(x)=sinx+cosx
在[0,2π]上的极值
先求函数的导数
f'(x)=cosx-sinx
令f'(x)=0得驻点x₁=π/4 x₂=5π/4
再求二阶导数
f''(x)=-sinx-cosx
因为f''(π/4)=-√2<0
故f(π/4)=√2是极大值
f''(5π/4)=√2>0
故f(5π/4)=-√2是极小值
最后
我们看一个隐函数的例子
设函数y=y(x)由方程2y³-2y²-2xy-x²=1所确定
试求y=y(x)的驻点
并判断它是否为极值点
解 两边关与x求导得
3y²y'-2yy'+y+xy'-x=0
令y'=0 得y=x
代入原方程得
2x³-x²=1
化为2(x³-1)-(x²-1)=0
解得唯一驻点x=1
对(1)式再求导得
(3y²-2y+x)y''+(6y-2)y'²+2y'-1=0
将x=1 y(1)=1 y'=0代入得
y''=1/2>0
可见x=1是隐函数y=y(x)的极小值点
最后我们小结一下
比较两种判定法 各有优缺点
在实际使用中
请大家灵活应用
今天就讲到这里
谢谢
-1.1 预备知识
--1.1.2本节作业
-1.2 函数的概念
--1.2.2 本节作业
-1.3 函数的基本特性
--1.3.2 本节作业
-1.4 反函数与复合函数
--1.4.2 本节作业
-1.5 基本初等函数与初等函数
--1.5.2 本节作业
-1.6 经济学中几个常见的函数
--1.6.2 本节作业
-第一章单元练习
--习题训练
-2.1 数列的极限
--2.1.3 本节作业
-2.2 函数的极限
--课堂思考
--2.2.4 本节作业
-2.3 无穷小量与无穷大量
--课堂思考
--2.3.4 本节作业
-2.4 极限的性质
--课堂思考
--2.4.4 本节作业
-2.5 两个重要极限
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--2.5.9 本节作业
-2.6 函数的连续性
--课堂思考
--2.6.6 本节作业
-第二章单元练习
--习题训练
-3.1 导数的概念
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.1.7 本节作业
-3.2 求导法则
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--课堂思考(三)
--3.2.8 本节作业
-3.3 高阶导数
--3.3.3 本节作业
-3.4 函数的微分
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.4.8本节作业
-3.5 导数与微分的简单应用
--3.5.4本节作业
-第三章单元练习
--习题训练
-4.1 中值定理
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.1.7 本节作业
-4.2 洛必达法则
--课堂思考
--4.2.4 本节作业
-4.3 函数的单调性与极值
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.3.5 本节作业
-4.4 函数的最值及应用
--4.4.3 本节作业
-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点
--课堂思考
--4.5.4 本节作业
-4.6 函数的微分法作图
--课堂思考
--4.6.5 本节作业
-第四章单元练习
--习题训练
-5.1 不定积分的概念与性质
--5.1.4 本节作业
-5.2 换元积分法
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--5.2.5 本节作业
-5.3 分部积分法
--课堂思考
--5.3.2 本节作业
-5.4 有理函数的积分
--5.4.3 本节作业
-第五章单元练习
--习题训练