当前课程知识点：微积分I >  第三章 导数与微分 >  3.2 求导法则 >  3.2.2 导数的四则运算（2）

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3.2.2 导数的四则运算（2）在线视频

下一节:3.2.3 反函数的导数

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3.2.2 导数的四则运算（2）课程教案、知识点、字幕

大家好

这一讲

我们来学习函数求导的四则运算法则中的商的求导法则

来看定理

设u=u(x) v=v(x)

在x处可导

且v(x)≠0

则u(x)/v(x)也可导

且有商的导数 u/v的导数就等于

(分子的导数乘以分母-分子不动乘以分母的导数)/(分母的平方)

也就是(u/v)'=(u'v-uv')/v²

下面我们来证明它

由导数的定义

要计算(u/v)的导数

我们令y=u/v

首先需要计算当Δx→0时

函数值的改变量

Δy/Δx比值的极限

所以我们先计算函数值的改变量

我们写出来是

Δy等于这个式子

我们把这个式子通分

得到下面的这一个表达式

为了计算它

我们在分子中插入u(x)v(x)

再分项组合

分别提取公因式得到

Δy的表达式

所以我们在等式两边同时除以Δx

左边得到

Δy/Δx

右边我们把Δx除到分子上

把这两个Δx分别除到Δu和Δv上面

再用极限的四则运算法则

注意v(x)是可导的

所以它必然连续

这样当Δx→0时

v在(x+Δx)这一点处的极限值就等于v(x)

从而 刚才的表达式里面的分母变为v²(x)

在上式两端 让Δx→0取极限

而u=u(x) v=v(x) 在x处可导

从而Δx→0时 Δu/Δx这个极限算出来是u'

Δx→0时 Δv/Δx这一个极限算出来是v'

所以

两端让Δx→0取极限以后

我们就得到y'它的表达式

y'=(u'v-uv')/v²

这样我们证明了今天的主要结论

商的求导法则

(u/v)'=(u'v-uv')/v²

特殊地

令u≡1

可得推论

(1/v)'=-v'/v²

下面来看例题1

求y=tanx的导数

解

tanx用定义式展开成正弦和余弦的商

然后应用商的求导法则

就等于((sinx)'cosx-sinx(cosx)')/cos²x

我们把分子算出来

用三角恒等式cos²x+sin²x是等于1的

所以 这一个导数就是1/cos²x

而1/cos²x=sec²x

所以 例题1的结果其实是一个公式

也就是(tanx)'=sec²x

类似的用完全相同的办法可以得到

(cotx)'=-csc²x

例题2

求y=secx的导数

解

将secx用定义式展开成余弦函数的倒数

应用刚才得到的推论 (1/v)'=-v'/v²

那么(secx)'=(1/cosx)'

就等于-(cosx)'/cos²x

注意(cosx)'=-sinx

代进去用三角恒等式(secx)'=secx·tanx

所以得到新的求导数公式 (secx)'=secx·tanx

用完全相同的方法可以得到 (cscx)'=-cscx·cotx

到目前为止

六种三角函数的求导公式都有了

我们一起来回顾一下

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(tanx)'=sec²x

(cotx)'=-csc²x

(secx)'=secx·tanx

(cscx)'=-cscx·cotx

来看下刚才介绍的公式和求导法则的应用。

例题3

求y=(5sinx)/(1+cosx)的导数.

用商的求导法则

我们有y的导数分子把这个5拿到分数符号外面

y的导数就等于分子求导乘以分母

减去分子不动分母的导数

除以分母的平方

那么 整理

我们把这个分子整理一下

就可以得到最后的答案就是5/(1+cosx)

来看例题4

求y=√x·tanx+secx的导数

应用乘积的求导法则

先对第一个因式√x求导

第二个因式不动

可以得到(√x)'=1/(2√x)

乘以tanx

然后再让第一个因式√x不动

对第二个因式tanx求导

而我们刚刚学到了 (tanx)'=sec²x

所以结果就还要加上√x·sec²x

最后再加上secx的导数就可以了

也就是加上secx·tanx

最后

给同学们留了3个思考题

请大家课后完成

这一节课就到这里

谢谢大家

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

3.2.2 导数的四则运算（2）笔记与讨论

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