2.6.3 第二类间断点在线视频

同学们好

前面我们学习了两种间断点

我们称为第一类间断点

可以发现第一类间断点

直观上看

断的程度不是很厉害

但是间断点除了前面的两种情形外

其他情形很多也很复杂

在这里我们就不一一列举了

为了简单

我们把除第一类间断点之外的间断点

都称为第二类间断点

由于第二类间断点的情形很复杂

我们无法也没有必要一一去学习它的间断情形

下面

我们看第二类间断点中常见的两个间断情形

先看第一种

所谓的无穷间断点

在第二类间断点中

如果lim x→0⁻ f(x)

和limx→x0⁺ f(x)

中至少有一个是无穷则称为无穷间断点

无穷间断点的定义告诉我们

此点处至少有一侧的极限为无穷大

也就是说

此处有竖直渐近线

那就意味着函数曲线在此点附近向无穷远处延伸

可见此处曲线间断得有点厉害

我们看下面的例子

讨论函数f(x)

当x>0时 等于1/x

当x≤0时 等于x

在x=0处的连续性

既然是分段函数

我们仍采用原来的讨论方法

从左右极限入手

先看左极限

limx→0⁻ f(x)=limx→0⁻ x=0

再看右极限

limx→0⁺ f(x)=lim x→0⁺ 1/x=+∞

所以x=0为函数的第二类间断点

从图形上看

函数曲线在0点左侧的一端与原点连接

而曲线在0点右侧的一端向y方向正无穷远处延伸

可见函数曲线在0点不但断开了

而且断得比较厉害

这就符合我们前面的直观

第一类间断点是直观上断得不是很厉害

而第二类间断点

是断得比较厉害的

我们再看一种情形

从例子出发看下面的例子

讨论函数f(x)=sin(1/x)在x=0的连续性

容易知道函数在0点没有定义

且lim x→0 sin(1/x)不存在

而且此极限也不是无穷大

为了看清楚它的间断情形

我们利用软件画出它的图形如下图

由此可见

当自变量无限趋向于零时

正弦函数上下振荡

而且越靠近原点

振荡的周期越小

也就是上下振荡的频率越大

可见此处函数曲线间断的情形更复杂

我们称此类间断点为振荡间断点

当然除了前面这些间断点之外

还有更复杂的间断情形

我们就不再去深入研究了

下面我们看两个求函数间断点的综合例子

先看下面这个例子

求f(x)=(x²-1)/(x²-2x-3)的间断点

并判断类型

根据初等函数的性质

在定义域区间内都连续

容易知道

这个函数在两个分母为零的点处没有定义

所以下面我们只考察这两个点的连续性

分子分母分解因式得

(x²-1)/(x²-2x-3)=[(x-1)(x+1)]/[(x-3)(x+1)]

可见函数在x=3和x=-1处没有定义

从而这两个点是函数

仅有的两个间断点

下面我们进一步考察间断点的类型

先考察-1这点的极限

因为lim x→-1 (x²-1)/(x²-2x-3)

消去因子x+1得

lim x→ -1 (x-1)/(x-3)=1/2

可见函数在此点的极限是存在的

所以为第一类间断点中的可去间断点

再看x=3这一点

lim x→3 (x²-1)/(x²-2x-3)=∞

可见此点为无穷间断点

从这个例子我们可以看出

寻找函数的间断点对于初等函数

主要考察定义域区间外的点

因为我们遇到的函数

绝大多数是初等函数

所以这个方法我们后面会经常用到

我们再看一个例子

讨论函数f(x)

等于1/｛1-e^[x/(1-x)]｝

的间断点及其类型

由前面知道对于初等函数找间断点

只需要考虑其没有定义的点

显然

此函数没有定义的点有两个

一个是使大分母为零的点x=0

一个是使指数部分的分母为零的点x=1

因此下面我们考察这两个点

先看点x=1

我们分左右极限来看

先看左极限

当x 从小于1的方向趋向于1时

1-x 为正

所以整个指数函数

e^[x/(1-x)]为正无穷大量

所以函数的分母

1-e^[x/(1-x)]为负无穷大量

从而函数为无穷小量

此时函数的左极限为0

再看右极限

当x 从大于1的方向趋向于1时

1-x 为负

所以x/(1-x)为负无穷大量

整个指数函数e^[x/(1-x)]

为无穷小量

所以函数的右极限为1

这样函数的左右极限都存在且不相等

所以x=1为函数的跳跃间断点

再看点x=0

显然

当x→0时

分母为无穷小量

所以函数为无穷大量

所以此点为无穷间断点

最后我们做个小结

今天主要讲了两点

无穷间断点与振荡型间断点

以及一般初等函数间断点的找法

今天就讲到这里

谢谢