4.1.2 罗尔中值定理在线视频

同学们好

今天我们开始学习第一个中值定理

罗尔中值定理 也简称为罗尔定理

我们先看罗尔定理的内容

设函数f(x)满足如下三个条件

(1) f(x)在闭区间[a ,b ]上连续

(2) 在开区间(a,b)内 可导

(3) f(x)在区间的两个端点的函数值相等

即f(a)=f(b)

则有如下结论

在开区间(a,b)内 存在一点ξ

使得函数f(x)在ξ这一点的导数为0

即f'(ξ)=0

我们先看一下罗尔定理的几何意义

大家看这个图

定理的前两个条件保证了函数的曲线是连续的

光滑的

且处处有切线的

定理的第3个条件使得曲线的两个端点处在同一水平线上

这样一来

从左端点A 出发

沿着曲线行走

不管是朝上走还是朝下走

想要走到右端点时

都要拐回头

那么在回头的地方就形成一个峰顶或谷底

大家想象一下

峰顶或谷底处必然形成一个局部的最值

联系到前面学过的费马引理

此处的切线必定是水平的

也就是说

此处的导数必然为零

这样满足定理结论的点ξ就找到了

事实上

一会我们证明罗尔定理就是按这个思路进行的

这样一来

罗尔定理的几何意义很明显了

就是满足定理三个条件的函数的曲线上一定存在一点处

有水平的切线

下面我们就沿着刚才几何直观的思路来

严格证明一下罗尔定理

首先

由前面我们学过的闭区间上连续函数的最值定理

可以得到

此时函数f(x)必然在[a,b] 上

存在最大值M和最小值m

先看一个特殊情形

就是最大值和最小值相等的情形

此时显然函数为一常值函数

常值函数的导数恒为零

所以此时开区间(a,b)内任意一点都满足定理的结论

此时定理成立

如果最大值和最小值不相等

则此时由于函数在区间的两个端点的函数值相等

所以最大值和最小值

一定至少有一个在区间(a,b)内取得

不妨设最大值M在区间

(a,b)内取得

即在区间(a,b)内存在一点ξ

使得f(ξ)=M

又根据费马引理知

f'(ξ)=0

这样就完成了罗尔定理的证明

注意

如果定理的三个条件有一个不满足

则定理的结论就可能不成立

大家看下面的三个图示

第一种情形

函数不满足第一个条件

因为函数在右端点处不是左连续的

第二种情形

函数不满足第二个条件

因为函数在区间的内部有不可导点存在

第三种情形函数不满足第三个条件

因为函数在区间的两个端点处函数值不相等

从图示可以看出这三种情形定理的结论都不成立

也就是说

在区间内找不到一点

使得导数为零

由上面的示例可知要保证定理的结论一定成立 三个条件

缺一不可

当然定理条件只是充分条件

并不是必要的

也就是说当定理的条件不满足时

函数也有可能在区间内存在导数为零的点

这一点我们一会留作课后思考

大家举例说明

另外要注意的是

定理的结论只强调了ξ的存在性

没有说唯一性

也就是说在定理的条件下满足结论的ξ可能不唯一

这一点也留作课后思考

大家举例说明

下面我们看两个例子

验证一下定理的正确性

先看例1

函数f(x)=sinx

由初等函数的性质

显然函数f(x)=sinx

在闭区间[0,π]上连续

在开区间(0,π)内可导

并且在区间端点处函数值都等于零

也就是说相等

从而满足罗尔定理的三个条件

下面我们找一下在开区间(0,π)内

是否有满足定理结论的ξ

通过观察f(x)=sinx在π/2取得的最大值

并且正弦函数的导数是cosx

而cos(π/2)=0

从而可以看出π/2就是满足定理结论的ξ

再看例2

验证函数f(x)=x [√(3-x)]在区间[0,3]上

满足罗尔定理的所有条件

并求出定理中的ξ

因为函数f(x) =x [√(3-x)]

是定义在(-∞，3]上的初等函数

所以它在[0,3]上是连续的

我们求它的导数

f'(x) =√(3-x)-x/[2√(3-x)]=3(2-x)/[2√(3-x)]

因为导数在开区间(0,3)内有定义

从而函数f(x)在开区间(0,3)内是可导的

又因为f(0)=f(3)=0

所以函数在区间端点上的函数值也相等

所以函数f(x)在闭区间[0,3]上

满足罗尔定理的条件

又因为f'(2)=0

从而满足定理结论的ξ=2

下面我们再看一个例子

下列函数中在[-1,1]上

满足罗尔定理条件的是下面选项中的哪一个

A选项

f(x)等于

当x≠0时 等于sin(1/x)

当x=0时 等于0

B选项

g(x) 当x≠0时

等于xsin(1/x)

当x=0时 等于零

C选项

h(x)

当x≠0时

等于x²sin(1/x)

当x=0时 等于零

D选项

φ(x)等于 当x≠0时

等于x²sin(1/x²)

当x=0时 等于零

我们分别来看每个选项的情况

A选项由于函数在零点是不连续的

所以排除

B选项

由于极限limx→0 [g(x)-g(0)]/(x-0)等于

limx→0 [x sin(1/x)]/x 是不存在的

所以函数在零点是不可导的

所以排除

C选项

虽然函数是可导的

但在端点的函数值不相等

所以也排除

最后只有D选项符合条件

最后我们做个小结

今天要求大家掌握两点

(1)是记住罗尔定理的条件和结论

(2)是理解罗尔定理的几何意义

留给大家两个思考题

(1)举一个满足罗尔定理条件的

且ξ点不唯一的例子

(2)举一个虽然不满足罗尔定理的条件

但是也存在导数为零的点的例子

今天就讲到这里

谢谢