4.6.3 函数曲线的斜渐近线在线视频

同学们好

今天我们学习

曲线斜渐近线的求解方法

为了探索斜渐近线的求解方法

我们先分析一下问题

如果函数y=f(x)存在斜渐近线

y=ax+b

那么根据定义

曲线与直线在无穷远处渐近

就意味着

自变量x必然趋向于无穷大

并且在此运动过程中

必有f(x)-(ax+b)→0

即有极限limx→∞

[f(x)-(ax+b)]等于0

这个极限变形为lim[f(x)-ax]=b

这就是说

斜渐近线的截距由这个极限确定

其次

由前面的知识知道

函数的极限存在

则此函数必然可以写成

极限值与一个无穷小量的和

所以有f(x)-ax=b+α

其中α为此极限过程中的无穷小量

所以有f(x)/x=a+(b/x)+(α/x)

由于(b/x)+(α/x)在x→∞时的极限为0

这样我们就得到lim→∞ f(x)/x=a

也就是说斜渐近线的斜率

由这个极限来确定

这样我们得到如下求斜渐近线的方法

如果lim→∞ f(x)-(a+b)=0

其中a≠0

那么y=ax+b就是y=f(x)的一条斜渐近线

并且

斜率和截距分别由下面的公式确定

limx→∞ f(x)/x=a≠0

limx→∞ [f(x)-ax]=b

根据自变量趋向于无穷大的不同情形

斜渐近线也有常见的下面几种情形

第一种

正无穷远的斜渐近线

limx→+∞ f(x)/x=a≠0

limx→+∞ [f(x)-ax]=b

那么y=ax+b

就是y=f(x)的

一条在x方向正无穷远处的斜渐近线

注意此时只有x趋向于正无穷大时

斜率和截距存在

说明曲线只在x的正无穷大方向与直线y=ax+b渐近

如中学里学过的双曲线的

右半只与它的渐近线的情形就是如此

第二种

负无穷远的斜渐近线

limx→-∞ f(x)/x=a≠0

limx→-∞ [f(x)-ax]=b

那么y=ax+b

就是y=f(x)的一条

在x方向负无穷远处的斜渐近线

此时只有x趋向于负无穷大时斜率和截距存在

说明曲线只在x的负无穷大方向与直线y=ax+b渐近

如中学里学过的双曲线的左半支

与它的渐近线的情形就是如此

第三种

两侧无穷远的斜渐近线

limx→∞ f(x)/x=a≠0

limx→∞ [f(x)-ax]=b

那么y=ax+b就是y=f(x)的一条

在x方向两侧无穷远处的斜渐近线

注意此极限中的的含义是

x→±∞

即x趋向于两侧无穷远处的极限都存在且相等

此时曲线在x的正负无穷大方向两侧

都与直线y=ax+b渐近

后面我们会给出这方面相关的例子

下面我们看一个例子

求曲线f(x)=2(x-2)(x+3)/x-1的渐近线

一般情形

如果题目的要求是求曲线的渐近线

那么我们就要求出曲线的全部的渐近线

即水平的

竖直的和斜的渐近线三种

我们先求水平渐近线

先考察极限limx→-∞ f(x)

我们发现这个极限为无穷大

所以曲线不存在水平渐近线

接着求竖直渐近线

我们考察函数有没有为无穷大量的点

我们发现

当x=1时分母为0

分子非0

从而在1附近

函数为无穷大量

即存在limx→1 2(x-2)(x+3)/(x-1)=∞

所以曲线x=1存在竖直渐近线

并且进一步考察此极限的左右极限的情形

我们发现

当x<1的方向趋向于1时

分母是小于0的

分子也是小于0的

所以此时的极限为正无穷大量

这说明在直线x=1的左侧

曲线在y轴的正无穷远方向与其渐近

同理分析

当x从大于1的方向趋向于1时

分母是大于0的

而分子是小于0的

所以此时的极限为负无穷大量

这说明在直线x=1的右侧

曲线在y 轴的负无穷远方向与其渐近

最后看曲线的斜渐近线

先考察斜率极限

a=limx→∞ f(x)/x=lim x→∞ 2(x-2)(x+3)/[x(x-1)]=2

所以斜率存在 再考察截距极限

limx→∞ ｛[2(x-2)(x+3)/(x-1)]-2x｝

通分得limx→∞ (4x-12)/(x-1)=4

这样我们就得y=2x+4是曲线的一条斜渐近线.

并且上述极限当x→±∞时

都是存在的

所以曲线与这条渐近线

在x的正负无穷远处都渐近

我们画出函数与它所有的渐近线的

示意图如下

我们再看一个例子

求曲线f(x)=xarctanx的渐近线

和前面例题一样

先求水平渐近线

因为limx→∞ xarctanx=∞

无水平渐近线

又因为

函数在全体实数范围内处处连续

不存在使函数为无穷大量的点

所以无竖直渐近线

最后我们求斜渐近线

因为f(x)/x= arctanx

在正无穷远处和负无穷远处极限不相等

所以我们分开来求

先看在正无穷远处的情形

a₁=lim x→+∞ xarctanx/x=π/2

再看

负无穷远处的情形

a₂=lim x→-∞ xarctanx/x=-π/2

这样我们发现

如果斜渐近线存在

则分别在正负无穷远处的斜率是不同的

下面我们再分别看

在正负无穷远处的斜渐近线的截距

先看正无穷远处的情形

有b₁=lim x→-∞ [xarctanx-(π/2)x]

等于limx→+∞ [arctanx-(π/2)]/(1/x)

limx→+∞ -x²/(1+x²)=-1

再看负无穷远的情形

b₂=lim x→-∞ [xarctanx+(π/2)x]

等于lim x→-∞ [arctanx+(π/2)]/(1/x)

等于limx→-∞ -x²/(1+x²)=-1

这样

我们就分别在x的正负无穷远处

得到两条不同的斜渐近线y=±(π/2)x-1

并且

当x趋近正无穷远时

由于arctanx

所以有

xarctanx<(π/2)x

所以曲线是在渐近线的下方无限接近y=(π/2)x-1的

同理可得

当x趋近正负穷远时

曲线是在渐近线的下方无限接近y=-(π/2)x-1的

最后我们稍微总结一下

求斜渐近线的方法

利用公式limx→-∞ f(x)/x=a≠0

limx→-∞ [f(x)-ax]=b

分别求斜率和截距

就可以得斜渐近线的方程

y=ax+b,a≠0

留个练习题

大家课后思考

求曲线f(x)=2x³/(x²-5x+4)的渐近线

今天就讲到这里

谢谢