当前课程知识点：微积分I >  第四章 中值定理与导数的应用 >  4.5 函数曲线的凹凸性与拐点 >  4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

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4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定在线视频

下一节:4.5.3 拐点的定义及其求法

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4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定课程教案、知识点、字幕

同学们好

今天我们来学习函数曲线的凸性的判定

我们知道

前面我们利用函数导数的符号

来判定函数的单调性

确实比较方便

那么对于函数曲线的凸性

能不能也找到类似的方法呢

首先我们来看函数导数的符号与凸性有没有关系

从上面的图可以看出

在凹弧中

函数既可以单调增加

也可以单调减少

如图中的a 到c 段

凸弧的情形下也是如此

也就是说

不管是凹弧还是凸弧

函数导数的符号

既可以正也可以负

这样导数的符号就与凹凸性没有必然的联系

但是我们从上面的图进一步观察发现

在凹口中有a 到c 切线的斜率由负到零

再到正

直观上看是单调增加的

同样的

在凸弧的情形下

由c 到b 其线的斜率由正道零再到负

直观上看是单调减少的

由于切线的斜率就是函数在该点处的导数

所以从直观上看

我们观察到了这样一个特点

就是曲线的凸性与导数的符号没有关系

但是与导数的单调性有关系

即当曲线是下凸时

f'(x)单调增加

当曲线是上凸时

f'(x)单调减少

再由前面的知识知道

导数的符号与单调性的关系

函数的二阶导数的符号可以决定一阶导数的单调性

从而就得到

可以用函数的二阶导数符号来判定曲线的凹凸性

写成定理的形式即得

设函数f(x)在[a,b]上连续

在(a,b) 内二阶可导

1、如果f''(x)>0 x∈(a,b)

则曲线y=f(x)

在[a，b] 上是下凸的

2、如果f''(x)<0 x∈(a，b)

则曲线y=f(x) 在[a，b] 上是上凸的

为了简洁

下面我们只就1的情形给出证明

我们利用切线的位置来证明曲线的凸性

在开区间（a,b）内任意取一点x₀

则f'(x₀) 为曲线在点x₀ f(x₀)处切线的斜率

因此我们利用点斜式公式可得

此点处切线的方程为

y=f(x₀)+f' (x₀)(x-x₀)

要证明曲线的凸性

就是要证明

曲线上任意一点与切线的位置关系

也就是说

给定一点处的横坐标 比较纵坐标的大小

因此

我们任意取点x₀外的一点x₁

则曲线上x₁处的纵坐标为f(x₁)

切线上x₁处的纵坐标为

y₁=f(x₀)+f' (x₀)(x₁-x₀)

要比较二者的大小

做差得

f(x₁)-y₁=f(x₁)-f(x₀)-f'(x₀)(x₁-x₀)

由拉格朗日中值定理 可得

f(x₁)-f(x₀)=f'(ξ)(x₁-x₀)

从而

f(x₁)-y₁=(f' (ξ)-f' (x₀))(x₁-x₀)

由已知条件f″ (x)>0

知一阶导数f'(x) 单调增加

从而知道f' (ξ)-f' (x₀)

与(x₁-x₀)总是同号的

从而f(x₁)-y₁>0

因此

由定义知

曲线是下凸的

下面我们看例题

判断曲线y=x³的凹凸性

由上面定理知

先求函数的二阶导数

因为y'=3x²

y ''=6x

当x<0时

y''<0

所以

曲线在（-∞，0]上为上凸的

当x>0时

y''>0

曲线在[0,+∞)上为下凸的

我们再看一个例子

求曲线

y=3x⁴-4x³+1的凹凸区间

我们先求二阶导数

y'=12x³-12x²

y''=36x(x-2/3)

令y''=0

得x₁=0 x₂=2/3

由此我们可以看出

类似于求单调区间

我们用二阶导数等于零的点

来划分函数曲线的凹凸区间

列表如下

由上表可以看出

我们把函数的定义域划分为三个区间

在(-∞,0)内 二阶导数为正

所以曲线是下凸的

在(0,2/3)内

二阶导数为负

所以曲线是上凸的

在(2/3,+∞)内

二阶导数为正

所以曲线是下凸的

最后我们总结一下

前面学习的单调性和凹凸性的判定

一阶导数为正 函数单调增加

一阶导数为负 函数单调减少

二阶导数为正 函数曲线下凸

二阶导数为负 函数曲线上凸

今天就讲到这里

谢谢

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定笔记与讨论

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