2.5.4 第二重要极限在线视频

同学们上一讲我们利用夹逼准则

获得了第一重要极限

并且发现第一重要极限建立了三角函数

与幂函数构成的 0/0不定式极限的基本关系式

通过第一重要极限

我们可以确定一些不定式的极限值

今天我们将利用单调有界准则

推导出第二重要极限

首先

我们给出第二重要极限的形式

lim x→∞ (1+1/x)ˣ=e

(1)首先分析第二重要极限的导出

由于该函数的底数指数都是函数

且该极限是1的无穷大型不定式

因此不具有运算意义

故此极限形式虽简单

却不能用已知的极限计算法则求之

为此先考察数列

xₙ=(1+1/n) ⁿ的极限

第一验证数列的单调性

因为xₙ=(1+1/n)ⁿ

等于Σ Cₙᵏ · (1/n) ᵏ

k从0到n

等于

1+(n/1！)·(1/n)+n(n-1)/2！· (1/n)²+n(n-1)(n-2)/3！· (1/n)³

+···+ [n(n-1)(n-2) ···（n-n+1）/n！]· (1/n)ⁿ

经过计算等于1+1+（1/2！)(1-1/n）+（1/3！)(1-1/n)(1-2/n）

一直加到(1/n！)(1-1/n)(1-2/n）...｛1-[(n+1）/n]｝

类似的可以得到xₙ₊₁=(1+1/n+1)ⁿ⁺¹

等于Σ Cₙ₊₁ᵏ

再乘以(1/n+1)ᵏ

k的值从0到n+1

经过计算之后

等于1+1+（1/2！)(1- 1/(n+1))

+（1/3！)(1- 1/(n+1))(1- 2/(n+1))

+···+（1/n！）·（1- 1/(n+1))(1- 2/(n+1))...（1- (n-1)/(n+1))

+···+1/（n+1)！·（1- 1/(n+1))(1- 2/(n+1))...（1- n/(n+1))

直接比较可以知道xₙ₊₁＞xₙ

即数列xₙ= (1+1/n) ⁿ 是单调增加的

第二 验证数列的有界性

由于xₙ=1+1+(1/2！)(1-1/n)

+(1/3！)(1-1/n)(1-2/n) +···+ (1/n！)

(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n)

这是小于1+1+(1/2！)+...1/n！

那么进一步会小于1+（1+1/2+1/2²+....+1/2ⁿ）

也就是说

它将小于1+(1-1/2ⁿ⁺¹)/(1-1/2)

即是小于1+[2-1/2ⁿ]＜3

可见｛xₙ｝单调增

并且有上界

因此其极限存在

如果设它的极限为e

则有lim n→∞ [1+1/n]ⁿ=e

下面考虑函数极限

lim x→+∞(1+1/x)ˣ

首先考虑通过取整函数

将其化为正整数取极限的情形

对于任意x > 1 有 [ x ] ≤x ≤ [ x ]+ 1

即1/（ [ x ]+1） ≤1/x ≤ 1/[ x ]

于是1+1/（ [ x ]+1） ≤1+1/x ≤1+ 1/[ x ]

那么此时

(1+1/x )ˣ

将大于等于(1+1/（ [ x ]+1）)^[x]

再小于等于(1+ 1/[ x ])^(1+[x])

由于当x→+∞的时候

[ x ]→+∞

因此

有limx→+∞ ｛1+1/([ x ]+1)^[x] ｝

等于limx→+∞ (1+1/([ x ]+1))^(1+[x]）· (1+1/([ x ]+1))⁻¹=e

limx→+∞（1+1/ [ x ]）^([x]+1)

=lim x→+∞ (1+1/ [ x ])^[x] · (1+1/ ([ x ]+1))=e

由夹逼准则可得

limx→+∞ [1+(1/ x)]ˣ=e

类似的我们可以得到

limx→-∞ (1+1/x)ˣ=e

综上讨论可知对x为一切实数

都有limx→∞（1+1/x）ˣ=e

第二重要极限

limx→∞（1+1/ x）ˣ=e

是幂指函数极限的基本形式

很多幂指函数极限

实际上都可以化为这一基本极限之后进行计算

实际应用中为计算方便

此重要极限还可以有多种变体

比如我们可以写为下面的式子

limx→o（1+x ）^(1/x) =limt→∞（1+1/t ）ᵗ=e

这两种重要极限形式

还常常以复合函数形式出现

其一般形式可以写成如下两者

1. lim[ ]→∞（1+1/[ ]）^[ ]=e

2. lim[ ]→0（1+[ ]）^(1/[ ])=e

我们做一个简单的总结

同学们今天我们重点介绍了第二重要极限

通常在计算1的无穷大 型不定式时

我们常常将其变形为第二重要极限的一般形式

然后再利用第二重要极限计算

具体的例子

我们将在下一讲介绍

好关于第二重要极限的导出以及基本形式

今天就介绍到这里

谢谢大家