当前课程知识点:微积分I > 第三章 导数与微分 > 3.4 函数的微分 > 3.4.3 微分的几何意义
下面我们来看第十八讲
微分的几何意义
前面我们已经讲了
可微与可导是等价的
我们知道
他们的表达式之间可以相互转换 即
函数的微分等于
函数的导函数乘dx
它等价为
dy/dx=f'(x)
函数导函数它的几何意义是
在一点的导数值
可以得出函数在该点处切线的斜率
那么函数在该点的微分
它的几何意义又是什么呢
在函数可微的条件下
△y =f'(x₀)△x +o(△x)=dy+o(△x)
此关系式对一切△x 均成立
但并不要求△ x 很小
而当△ x 很小的时候
有|△y -d y|=|o(△ x)|
它远远小于1
故可以用d y 代替△y
作近似计算
即△y≈d y =f'(x₀ )△x
因此可推导出函数的几何意义
dy=f'(x₀ )△x
由前面f'(x₀ )就是函数在该点处的切线的斜率
tanα△x
几何意义如图
先作y=f(x)一条曲线
在曲线上取一点M点
假定M点的横坐标为x₀
过M点作
y=f(x) 的一条切线
记为T
倾斜角切线与x轴正半轴的夹角
倾斜角为α
再假设y= f(x) 的自变量由x₀ 增加到x₀ +△x
在y=f(x) 这条曲线上取对应点
N点x 轴的垂线与切线的交点为p点
N点和M点的横坐标的
增量为△x
纵坐标的增量为△ y
其中N点
与x 轴的垂线与切线相交于p点
与N点又构成一个三角形
由这个三角形得出
相应的由切线上的点P点纵坐标
和M点的横坐标与切线
构成一个三角形
其中一条直角边PD为dy 因此构成两个三角形
同位角的关系
当△ y是曲线的纵坐标增量时
可以得出
dy 就是切线的纵坐标
对应的增量
当△x很小的时候
在M点的附近切线段MP
可近似替代曲线段MN
当△x很小的时候
N沿着曲线y=f(x) 逐渐向M点靠近的时候
MP可以近似替代曲线MN
即函数在一点的微分几何意义为以直代曲
好 本小结的微分几何意义就讲到这里
谢谢
好
本讲主要是介绍了
由函数在某一点的微分的公式整理
得出一个结论
微分的几何意义为以直代曲
好
本小节微分的几何意义就讲到这里
谢谢
-1.1 预备知识
--1.1.2本节作业
-1.2 函数的概念
--1.2.2 本节作业
-1.3 函数的基本特性
--1.3.2 本节作业
-1.4 反函数与复合函数
--1.4.2 本节作业
-1.5 基本初等函数与初等函数
--1.5.2 本节作业
-1.6 经济学中几个常见的函数
--1.6.2 本节作业
-第一章单元练习
--习题训练
-2.1 数列的极限
--2.1.3 本节作业
-2.2 函数的极限
--课堂思考
--2.2.4 本节作业
-2.3 无穷小量与无穷大量
--课堂思考
--2.3.4 本节作业
-2.4 极限的性质
--课堂思考
--2.4.4 本节作业
-2.5 两个重要极限
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--2.5.9 本节作业
-2.6 函数的连续性
--课堂思考
--2.6.6 本节作业
-第二章单元练习
--习题训练
-3.1 导数的概念
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.1.7 本节作业
-3.2 求导法则
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--课堂思考(三)
--3.2.8 本节作业
-3.3 高阶导数
--3.3.3 本节作业
-3.4 函数的微分
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.4.8本节作业
-3.5 导数与微分的简单应用
--3.5.4本节作业
-第三章单元练习
--习题训练
-4.1 中值定理
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.1.7 本节作业
-4.2 洛必达法则
--课堂思考
--4.2.4 本节作业
-4.3 函数的单调性与极值
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.3.5 本节作业
-4.4 函数的最值及应用
--4.4.3 本节作业
-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点
--课堂思考
--4.5.4 本节作业
-4.6 函数的微分法作图
--课堂思考
--4.6.5 本节作业
-第四章单元练习
--习题训练
-5.1 不定积分的概念与性质
--5.1.4 本节作业
-5.2 换元积分法
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--5.2.5 本节作业
-5.3 分部积分法
--课堂思考
--5.3.2 本节作业
-5.4 有理函数的积分
--5.4.3 本节作业
-第五章单元练习
--习题训练