当前课程知识点：微积分I >  第四章 中值定理与导数的应用 >  4.6 函数的微分法作图 >  4.6.1 函数曲线的水平渐近线

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4.6.1 函数曲线的水平渐近线在线视频

下一节:4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

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4.6.1 函数曲线的水平渐近线课程教案、知识点、字幕

同学们好

前面我们学习了函数的单调性与极值点

凹凸性与拐点

今天我们继续学习函数曲线的另外一个性质

在无穷远处的渐近线

渐近线的概念

大家在中学里已经听说过了

我们知道中学学习过的双曲线有两条渐近线

今天我们要学习一般函数曲线的渐近线

首先我们给函数曲线的渐近线下一个明确的定义

如果曲线y=f(x)上的一动点

沿着曲线无限远离原点时

该点与某定直线的距离趋向于零

则称该定直线为曲线y=f(x)的一条渐近线

直观地说

渐近线就是这样的一条直线

在无穷远处

函数的曲线与它无限接近

一般来讲

渐近线按它的斜率来分

有三种

水平渐近线

竖直渐近线和斜渐近线

今天

我们先学习第一种

水平渐近线

水平渐近线

顾名思义

就是平行于x 轴的渐近线

则它的方程一定为y=C的形式

如果函数曲线y=f(x)

在无穷远处与它无限接近

就必然表现为在无穷远处y=f(x)的极限为常数C

而此时的无穷远处必然是自变量x

趋向于无穷远的情形

所以如果直线y=C

是函数y=f(x)的水平渐近线

必然有极限

limx→+∞ f(x)=C

或limx→-∞ f(x)=C存在

或二者同时都存在

反过来

如果极限limx→+∞ f(x)=C

或limx→-∞ f(x)=C存在

必然说明在无穷远处

函数y=f(x)与直线y=C无限接近

从而直线y=C

就是函数y=f(x)的一条水平渐近线

因此我们得到了

求函数曲线y=f(x)水平渐近线的方法

只需要考察极限

limx→+∞ f(x)=C

或limx→-∞ f(x)=C是否存在

二者之一存在

就说明直线y=C是函数y=f(x)的一条水平渐近线

如反正切函数y=arctanx

因为limx→+∞ arctanx=π/2

所以直线y=π/2

为反正切函数y=arctanx的曲线

在x轴的右侧无穷远处的水平渐近线

又因为limx→-∞ arctanx=-π/2

所以直线y=-π/2 为反正切函数y=arctanx的曲线

在x轴的左侧无穷远处的水平渐近线

同理

大家可以考虑反余切函数y=arccot x 的水平渐近线的情况

我们再举几个水平渐近线的例子

如y=eˣ

由于极限limx x→-∞ eˣ=0存在

所以直线y=0为指数函数y =eˣ

在x 轴负无穷远方向上的水平渐近线

即曲线y =eˣ与直线y=0

在x 轴负无穷远处无限接近

并且极限lim x→+∞ eˣ=+∞

极限不存在

所以曲线y =eˣ

在x 轴正无穷远处没有水平渐近线

同样的如y=1/x和y=1/x²这两个函数

在无穷远处的极限都存在

即当x→±∞

函数的极限都等于零

从而直线y =0

为它们的水平渐近线

并且在x 轴正负无穷远处两个方向

直线y=0都与它们渐近

二者稍微不同的是

y =1/x是从x 轴两侧与直线y=0接近

y =1/x²是从x 轴同侧及上方与直线y=0接近

讲到这里

大家可以思考一下

一个函数的曲线最多可以有几条水平渐近线

答案是两条

为什么呢

留给大家课后去讨论

总结上面例子

我们可以看出水平渐近线有下面几种情形

第一种情形

极限lim x→+∞ f (x) =C 存在

极限lim x→-∞ f (x) 不存在

此时函数曲线存在一条水平渐近线y=C

并且此渐近线与y=f(x) 在x 轴右侧无穷远处渐近

第二种情形lim x→-∞ f (x)=C 存在

极限lim x→+∞ f (x) 不存在

此时函数曲线存在一条水平渐近线y=C

并且此渐近线与y=f (x) 在x 轴左侧无穷远处渐近

第三种情形

极限lim x→+∞ f(x)

与lim x→-∞ f(x)都存在

且二者相等

lim x→+∞ f(x)=lim x→-∞ f(x)=C

此时函数曲线存在一条水平渐近线y=C

并且

此渐近线与y=f (x) 在x 轴左右两侧无穷远处都渐近

第四种情形

极限lim x→+∞ f(x)

与lim x→-∞ f(x)都存在

且二者不相等

即lim x→+∞ f(x)=C₁

不等于lim x→-∞ f(x)=C₂

此时函数曲线存在两条水平渐近线

y =C₁和y =C₂

并且函数y=f (x) 的曲线

在x 轴左右两侧无穷远处分别与

y =C₁和y =C₂渐近

最后我们再看一个例子

求函数y=(1+eˣ)/(1-eˣ)的水平渐近线

根据前面的方法

我们要考察函数在x趋限于正负无穷远处的极限

先看极限limx→+∞ (1+eˣ)/(1-eˣ)

这是一个∞/∞的极限

分子分母同除以eˣ

得limx→∞ (e⁻ˣ+1)/(e⁻ˣ-1)

显然这个极限等于-1

所以y=-1为函数曲线的一条水平渐近线

并且在x 轴右侧无穷远处与函数的曲线渐近

再看极限limx→-∞ (1+eˣ)/(1-eˣ)

由于当x→-∞时

eˣ→0

所以原极限等于1

所以y =1为函数的一条水平渐近线

并且在x 轴左侧无穷远处与函数的曲线渐近

由此可见

该函数有两条不同的水平渐近线

今天就讲到这里

谢谢

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

4.6.1 函数曲线的水平渐近线笔记与讨论

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