1.2.1 函数的概念在线视频

同学们好

这一讲

我们讲函数的概念

一 常量与变量

一种在观察过程中保持固定数值的量

我们称之为常量

在某考察过程中不断变化的量称为变量

常量可以看成变量的特例

一般情况我们用 x y z 等

表示变量用a b c等表示常量

其中表示变量和常量的这些符号都是小写字母

变量在数轴上表示为一个动点

而常量在数轴上表示为一个定点

二 函数的概念及其表示法

定义 假设数集

D⊂R

如果对D中的每一个x

按照某个对应法则f

有唯一的数y∈R与之对应

则称f是定义在D上的一个函数

记为y=f（x）

x∈D 其中D称为定义域

定义域通常用Df来表示

f代表对应的规则

x称为自变量

y称为因变量

全体函数值组成的集合

称为函数的值域

记为Z或者Zf

也就是Z等于

Zf={y∣y=f(x)，x∈Df}

注意 在函数的定义中

对每个定义域内的x对应的函数值y=f(x)是唯一的

因此也称为单值函数

而对每一个属于值域里面的y

以之作为函数值的自变量x不一定唯一

例如y=x²是定义在R上的一个函数

它的值域是Zf

其中y≥0

对每一个值域里面的函数y

对应的自变量有两个 即

x=√y和x=-√y

由函数的定义可以看出

确定函数的两个要素为

定义域和对应法则

下面我们来看一下

例1 判断下列各函数是否相同

（1） y=x+1 s=t+1

这两个函数取值范围和值域是相同的

所以这两个函数是相同函数

（2） y=x和y=√x²

很显然

这是不相同的原因是

y=√x²代表的是|x|

所对应的法则是不一样的

所以是不相同的

（3）y=sinx²

y=sin²x

很显然

这两个因为对应规则是不一样

所以这两函数是不相同的

(4) y=㏑x² y=2㏑x

很显然

两个函数的取值范围定义域是不一样的

所以函数不相同

函数有相应的定义域

定义域的求法是什么

四 函数的定义域的求法

(1) 根据实际问题

(2) 自然段定义域 使算式有意义的一切实数值

如何求函数的自然定义域

由函数本身的这个式子

我们一般采用的是

一 如果是分式的要求

分母不等于零

二偶次方根要求被开方数大于或者等于零

三 对数的真数应要求大于零

四 反三角函数arcsin x或arccos x

要求|x|≤1

五

如果函数的表达式由多个式子组成

则定义域为各个式子的定义域的交集

也就是取值范围的交集

六 分段函数的定义域是由各段取值范围的并集组成

那我们现在来计算一下

求下列函数的自然定义域

（1） y=arcsin x-1/5 + 1/√(25-X²)

(2) y=√(2-x)/[lg（x²-1）-1]

先看第一个由定义域的求法

要使函数有意义及要求

arcsin(x-1)/5中的|(x-1)/5|≤1

并且

25-x²＞0

也就是x²＜25

推出-4≤x≤6

并且

-5＜x＜5

得出X的范围为-4≤x＜5

在数轴上可以表示为如下图形

因此我们可以写出函数的定义域为

半开半闭区间

[-4,5）

(2) y=√(2-x)/[lg（x²-1）-1]

解 要使函数有意义也就是要求分母不等于零

lg(x²-1)-1≠0

真数 x²-1＞0

√(2-x)≥0

也就是2-x≥0

可以推出

x≤2 |x|>1且x≠±√11

把相应的这范围反映在数轴上如下图

因此得出函数的定义域为

(-∞，-√11)∪(-√11，-1)∪(1,2]

函数的定义域计算大家下去再多做几个练习

另外函数它的表示有哪些呢

一 解析法也就是公式法

二 表格法

表格法在实际问题中运用的比较多

如会计学里面的做账之类的

三 图示法 现实里面也很多

在实际问题中用解析法表示

函数不一定总是用一个式子表达

也可以分段用几个式子来表示一个函数

如日常生活中的公交车

车费一般与路程的长短有关

在购买某种商品时也可能出现分量定价的问题

又如绝对值函数

y=|x|等于

当x≥0时为x 当x＜0时为-x

它是用两个式子表达一个函数

在自变量不同变化范围中

对应法则用不同的式子来表示的函数

我们称为分段函数

如

f(x)等于当|x|<1的时候

为√(1-x²)

当1＜∣x∣≤2时x²-1

为一个分段函数

它的定义域就有∣x∣＜1并1＜∣x∣≤2

其定义域为

D=[-2，-1)∪(-1,1)∪(1,2]

它的图形表示为下图

其中分段函数我们也可以求相应的函数值

它相应的函数值是根据点的取值所对应的

这个范围带入相应的式子里面

比如

f(0)=1

f(3/2)=9/4-1也就是5/4

注意分段函数是在定义内表示的一个函数

而不是几个函数

所以其定义域为各个分段表示式的

取值范围的并集

求分段函数的函数值

f(x₀)的时候先分清楚（x₀）

属于哪个表达式的定义域

然后按此表达式求出相应的函数值

我们下面来看几个常见的分段函数

(1) 符号函数

y=sgn x

当x＞0时 为1

当x=0时 为0

当x＜1时 为-1

他的图形如下图

(2) 取整函数

取整表示

不超过x的最大整数

比如|5/7|取整为零

√3取整为1 -1取整为-1

-3.5取整为-4

取整函数对应的图像

如右图

狄利克雷函数

y当x是有理数是取1

当x是无理数时取0

它对应的图像如下图

这一讲有关函数的概念

函数的定义域的求导

以及函数的表示就讲到这里

谢谢