当前课程知识点：微积分I >  第二章 极限与连续 >  2.5 两个重要极限 >  2.5.7 常见等价无穷小量

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2.5.7 常见等价无穷小量在线视频

下一节:2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

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2.5.7 常见等价无穷小量课程教案、知识点、字幕

第二十五讲

常见等价无穷小

同学们前面几讲中

我们已经介绍了无穷小的定义

以及无穷小量阶的比较

我们知道无穷小

在极限理论中

具有非常重要的地位

特别的等价无穷小

在极限计算中具有举足轻重的作用

因此

本讲将介绍一些常见的等价无穷小

以帮助我们进行极限的计算

在无穷小量阶的比较中

我们知道无穷小

趋于零的速度是多样的

因此无穷小之间

就有了高阶、低阶、同阶、等价的关系

由前面的定义可知

等价无穷小是指

设α、β是自变量同一变化过程中的无穷小

若lim β/α=1

则称β是α的等价无穷小

记作α～β或者β～α

通常我们根据该定义

就可以判断两个无穷小之间是否等价

下面通过例子

说明两个无穷小之间的等价性

例1 证明

当x→0时

ⁿ√(1+x)-1～x/n

证明lim x→0 [(ⁿ√(1+x))-1]/(x/n)

=lim x→0 (x/n)[(ⁿ√(1+x))ⁿ⁻¹+(ⁿ√(1+x))ⁿ⁻²+···1]

分子当中

为(ⁿ√(1+x))ⁿ-1

利用n方差公式

aⁿ-bⁿ=(a-b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+...+bⁿ⁻¹)

可以得到极限为1

这就表明ⁿ√(1+x)-1 ～ x/n

例2 由第一重要极限可知

lim x→0 sinx/x=1

所以

sinx ～ x

例3

我们可以通过下面的推导

看到tanx～x

因为lim x→0 tanx/x=lim x→0 sinx/x· 1/cosx

等于(lim x→0 sinx/x)·(lim x→0 1/cosx)=1

故x→0时

tanx～x

再如 例4

lim x→0 (1-cosx)/x²=lim x→0 2sin²(x/2)/(4(x/2)²)=1/2

故当x→0时

1-cosx~x²/2

例5

求lim x→0 ln(1+x)/x

求解

原式=lim x→0 ln(1+x)^1/x

因为对数函数

在u=e处连续

所以极限符号可以进入对数运算

故得到ln (lim x→0 (1+x)^(1/x))=lne=1

这就意味着x→0时

ln(1+x)~x (x→0)

同学们还可以用类似的方法来讨论

下面的函数

logₐ(1+x)~?(x→0)

注意x→0

例6 求lim x→0 (eˣ-1)/x

解

令eˣ-1=u

则x=ln(1+u)

故当x→0时

u→0

原式=lim u→0 u/ln(1+u)=1

这表明在x→0时

eˣ-1~x

类似的还可以得到

aˣ-1~x lna

注意x→0

例7 求lim x→0 arcsinx/x

求解令u=arcsinx

则x=sinu

并且当x→0时

u→0

原式=lim u→0 u/sinu=1

这表明x→0的时候

arcsinx~x

下面是一些常用的等价无穷小

需要同学们熟记

当x→0时

sinx~x

arcsinx~x

tanx~x

arctanx~x

ln（1+x）~x

而logₐ（1+x）~x/lna

eˣ-1~x

aˣ-1~x lna

另外1-cosx~x²/2

(1+x)ᵃ-1 ~ ax

下面我们简单总结一下

同学们

今天我们主要介绍了一些

常见的等价无穷小

希望同学们能够记住并熟练运用

另外

其条件x→0需要注意

好本讲内容就到这里

谢谢大家

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

2.5.7 常见等价无穷小量笔记与讨论

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