当前课程知识点:微积分I > 第二章 极限与连续 > 2.5 两个重要极限 > 2.5.3 第一重要极限应用
同学们
上一讲
我们介绍的第一重要极限
我们知道
第一重要极限建立了三角函数
与幂函数构成的函数
“0/0”不定式极限的基本关系式
因此在遇到这类“0/0”不定式极限问题时
可以考虑利用此结果进行计算
具体应用时通常是
将所讨论的不定式通过变形或代换
将其转化为此类不定式的标准形式
再利用此极限求得结果
这个标准形式中的x
可以用其它任意的函数来替换
因此用此重要极限求给定
不定式极限的关键是变形和转化
例如
求极限
lim x→0 sinαx/sinβx 其中α≠0 、β≠0
我们做个简单分析
这是由三角函数构成的
“0/0”型的不定式极限的计算问题
容易想到利用第一重要极限进行计算
为了应用此重要极限
需要先将给定极限
凑成重要极限的标准形式
因为α、 β≠0
所以有
lim x→0 sinαx/sinβx
等于lim x→0 sinαx/αx · αx/βx·βx/sinβx=α/β
例2 求极限lim x→0 (cosx-cos3x)/x²
在具体计算之前
我们先做简单分析
这是由三角函数与幂函数构成的
“0/0”型的不定式计算问题
因此在计算时
我们采用第一重要极限
为此需先将给定极限凑成重要极限的标准形式
具体求解为
凑成重要极限的标准形式
lim x→0 (cosx-cos3x)/x²
等于-2lim x→0 (sinxsin2x)/x²
=-4lim x→0 sinx/x · sin2x/2x =-4
例3 求极限
lim x→1 (1-x) · tan(πx/2)
分析一下
这是由三角函数与幂函数构成的
“0×∞”型不定式
由于这样的不定示并不便直接计算
因此考虑先将其转化为“0/0”型不定式
再选择适当方法进行计算
求解
先转化为“0/0”型不定式进行计算
作代换
1-x=t 则x=1-t
则当x→1时 t→0
lim x→1 (1-x) · tan(πx/2)
等于lim t→0 t tan(π/2-πt/2)
等于lim t→0 t cot πt/2
等于lim t→0 t/(tan (πt/2))
这是一个“0/0”型
转化为 (2/π) lim t→0 (πt/2)/ tan(πt/2) =2/π
例4 求极限
lim x→π/3 (1-2cosx)/sin(x-π/3)
求解
这是由三角函数构成的“0/0”型的不定式
因此我们容易想到利用第一重要极限来计算
为此先将其凑成标准形式
先作代换
令x-π/3=t
则当x→π/3时 t→0
于是lim x→π/3 (1-2cosx)/(sin(x-π/3)
等于lim t→0 (1-2cos(t+π/3) )/sint
等于lim t→0 (1-2cos(π/3)cost+2sin(π/3) sint)/sint
经过计算等于lim t→0 (1-cost+(√3)sint) / sint
等于lim t→0 (1-cost)/sint+(√3)
等于(√3)+lim t→0 (2sin² (t/2))/( 2sim (t/2) ×cos (t/2) )
等于(√3)+lim t→0 (sin t/2)/( cos t/2) =√3
通过这几个例子
我们发现在计算函数极限时
如果是由三角函数构成的“0/0"的形式
则应该将其凑成第一重要极限的标准形式
下面我们做个简单总结
同学们
今天我们重点介绍的是第一重要极限的应用
在应用当中
同学们一定要学会配出
sin0/0的标准形式
好
今天的内容就讲到这里
谢谢大家
-1.1 预备知识
--1.1.2本节作业
-1.2 函数的概念
--1.2.2 本节作业
-1.3 函数的基本特性
--1.3.2 本节作业
-1.4 反函数与复合函数
--1.4.2 本节作业
-1.5 基本初等函数与初等函数
--1.5.2 本节作业
-1.6 经济学中几个常见的函数
--1.6.2 本节作业
-第一章单元练习
--习题训练
-2.1 数列的极限
--2.1.3 本节作业
-2.2 函数的极限
--课堂思考
--2.2.4 本节作业
-2.3 无穷小量与无穷大量
--课堂思考
--2.3.4 本节作业
-2.4 极限的性质
--课堂思考
--2.4.4 本节作业
-2.5 两个重要极限
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--2.5.9 本节作业
-2.6 函数的连续性
--课堂思考
--2.6.6 本节作业
-第二章单元练习
--习题训练
-3.1 导数的概念
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.1.7 本节作业
-3.2 求导法则
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--课堂思考(三)
--3.2.8 本节作业
-3.3 高阶导数
--3.3.3 本节作业
-3.4 函数的微分
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.4.8本节作业
-3.5 导数与微分的简单应用
--3.5.4本节作业
-第三章单元练习
--习题训练
-4.1 中值定理
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.1.7 本节作业
-4.2 洛必达法则
--课堂思考
--4.2.4 本节作业
-4.3 函数的单调性与极值
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.3.5 本节作业
-4.4 函数的最值及应用
--4.4.3 本节作业
-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点
--课堂思考
--4.5.4 本节作业
-4.6 函数的微分法作图
--课堂思考
--4.6.5 本节作业
-第四章单元练习
--习题训练
-5.1 不定积分的概念与性质
--5.1.4 本节作业
-5.2 换元积分法
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--5.2.5 本节作业
-5.3 分部积分法
--课堂思考
--5.3.2 本节作业
-5.4 有理函数的积分
--5.4.3 本节作业
-第五章单元练习
--习题训练