3.3.2 几个常见函数高阶导数在线视频

同学们好

今天我们继续学习高阶导数

同时回答上一讲提出的思考题

如何求函数的n阶导数呢

如何求函数的n阶导数呢

接下来介绍两种方法

方法1

直接法

即由高阶导数的定义

逐步求高阶导数

来看两个例题

例题1

设y=xᵃ

α≠0

求y的n 阶导数

这是幂函数的n阶导数问题

我们先求一阶二阶三阶导数

来寻找它的规律

若α不为正整数

则y 的一阶导数

就等于αxᵅ⁻¹

二阶导数呢就等于一阶导数的结果再求导

所以这个指数α-1就拿到前面去了

二阶导数就等于

α(α-1)xᵅ⁻²

那么三阶导数呢

三阶导数利用定义

是对二阶导数的结果再求导

所以我们把二阶导数的结果代进来

对这个二阶导数再求导

那么这个时候新的指数α-2

是不是又要拿到前面去

同时我们的指数还要再减个1

α-2就会变成α-3

所以通过观察

我们得到y 的n 阶导数应该得多少呢

你看

二阶导数就到α-1为止

三阶导数到α-2为止

那么n阶导数呢显然就到α-(n-1)为止

那我们把括号去掉

这里写出来就是α-n+1

然后指数呢 x的方幂如何得到

y的n阶导数

你看 y的一阶导数是α-1

二阶导数α-2 三阶导数是α-3

所以通过观察我们得到

y的n阶导数应该为多少呢

所以y的n阶导数这个x的方幂其实就是α-n

特殊的

如果α是正整数n

那么

y=xⁿ

它的一阶导数

二阶导数

乃至n阶导数的公式

我们来看一下

你看n 阶导数

那就应该是n(n-1)(n-2)

一直乘到1

然后这个x的方幂呀

既然是求n阶导数

就是xⁿ⁻ⁿ

xⁿ⁻ⁿ就是x⁰

也就是1

所以y的n阶导数就等于n!

xⁿ再去求n+1阶导数呢

那就是n!

再求导

n！已经是一个常数了

常数的导数等于零

通过这个例子可以看到

求n阶导数时

求出一阶 二阶 三阶或者是四阶导数以后

不要急于合并

我们要仔细的分析结果的规律性

进而写出n阶导数的表达式

结果其实是可以用数学归纳法来证明的

我们呢省略证明的书写

再来看例题2

设y=sinx 求y的n阶导数

这里我们还是采用直接法

先求出一阶导数 二阶导数来观察规律

y 的一阶导数sin求导就是cos

我们用三角恒等变化

把这个cosx改写成sin(x+π/2)

这里用到的是奇变偶不变

符号看象限

再来去求y的二阶导数

二阶导数就是一阶导数再求导

sinx求导

那就得到cosx了 是吧

所以y的二阶导数就是cos(x+π/2)

我们模仿刚才的思路

把这个cos改写成sin

把cos(x+π/2)改写成sin呢

那就等于sin(x+π/2)的基础上再加一个π/2

把这两个π/2并到一起写出来

就是sin(x+2π/2)

用完全相同的方法

用归纳法

我们其实可以得到sinx的n 阶导数

它的公式

它就等于sin(x+nπ/2)

这个公式要求同学们要熟练掌握

类似的 我们用完全相同的方法

我们可以得到cosx的n阶导数的计算公式

等于cos(x+nπ/2)

下面来看第二种方法

即 利用已知的高阶导数公式

通过四则运算

变量代换等方法

求出函数的n 阶导数

方法二

间接法

我们来看这个思考题

y=sin²x 求y的n阶导数

这个时候容易想到用例题2的结论

先用复合函数求导

求出y的一阶导数

y的一阶导数就等于2sinxcosx

用倍角公式得到

sin2x

然后再用sinx的高阶导数的公式

sinx的n阶导数

是等于sin(x+nπ/2)的

所以对一阶导数的结果再求n-1阶导数

就会得到原来的函数y它的n 阶导数了

用复合函数求导可知

每一次求导

都会乘上自变量的导数 都会乘上2x的导数

也就是说

每次的求导结果都要乘以2

而要得到y的n阶导数

需要对一阶导数的结果再去求n-1次导数

所以最后的结果里面就会出现

2ⁿ⁻¹

这样y的n阶导数就=2ⁿ⁻¹sin[2x+(n-1)π/2]

这种利用已有结果的方法就是间接法

我们也可以用倍角公式来求解

注意到sin²x =(1-cos2x)/2

而cosx的n阶导数是有公式的

它等于cos(x+nπ/2)

这个表达式里面的常数1/2求导数它是零

所以这个问题的答案就是

y⁽ⁿ⁾=-2ⁿ⁻¹cos[2x+nπ/2]

下面我们来看例题3

设y=1/x 求y的n阶导数

这个问题目前没有现成的公式

所以我们尝试用直接法去解决它

先去求y 的一阶导数

一阶导数求出来以后

对一阶导数的结果再求导

所以就会得到二阶导数

然后我们对二阶导数的结果再求导

这里我们用到的始终都是我们的推论

就是1/v的导数=-v'/v²

我们可以求出y 的三阶导数

y的三阶导数求出来以后

我们去观察它找规律

用数学归纳法

我们可以证到

y的n阶导数得多少呢

首先我们注意到一阶导数是负的

二阶导数是正的

三阶导数又是负的

那么它的n阶导数是不是

正负 正负交替出现的

我们把这个写出来就是(-1)ⁿ

然后我们再去注意观察分子

你会发现一阶导数分子是1

二阶导数是2!

三阶导数分子是3!

所以1/x的n阶导数它的分子写出来

还要去乘上一个

n的阶乘

而分母呢

分母的话

我们从一阶 二阶 三阶导数可以观察出来

我们如果要去求

1/x的n阶导数

分母其实写出来是xⁿ⁺¹

再比如 我们给出的函数如果是

y=1/(1-x²)

如何去求y的n阶导数呢

注意到1/(1-x²)

我们可以裂项

我们可以把它写成是

1/2[1/(1-x)+1/(1+x)]

这个时候我们就可以用刚才的例题3的结论

先把1+x看成结论中的x

有1/(1+x)的n 阶导数就等于

=(-1)ⁿn!/(1+x)ⁿ⁺¹

接下来再把1-x看成例题3结论中的x

但是要注意到

由复合函数求导法则 在求n阶导数的过程中

每一次求导都需要去乘上

1-x这个因式对x求导

总共乘了n次

所以结果当中需要去乘上(-1)ⁿ

因此

1/(1-x)的n阶导数

等于(-1)ⁿn!/(1-x)ⁿ⁺¹·(-1)ⁿ

整理以后得到这个式子

所以

我们把1/(1+x)

和1/(1-x)的n 阶导数都求出来以后

提取公因子n！就得到了

y 的n阶导数的表达式

这就是用间接法来求n阶导数的例子了

再来看一个利用间接法求n阶导数的例子

例题4

设y=ln(1+x) 求y的n阶导数

我们先求出y的一阶导数

y的一阶导数就等于1/(1+x)

要得到y的n阶导数

就需要对一阶导数的结果再去求n-1阶导数

而根据例题3

我们已经有现成的结论了

1/x的n 阶导数是

=(-1)ⁿn!/xⁿ⁺¹

所以y的n阶导数里面

我们把这个x换成是1+x

就等于1/(1+x)的n-1阶导数

代进去

我们就得到了最后的结果

整理一下今天的学习

归纳起来有下面的常用的n 阶导数公式

第一个指数函数

(aˣ)⁽ⁿ⁾=aˣlnⁿa

这里a>0

特殊的把a取成e

(eˣ)⁽ⁿ⁾=eˣ

第二个(sinkx)⁽ⁿ⁾

由于每一次求导数

利用复合函数求导都会得到k

所以(sinkx)⁽ⁿ⁾=kⁿsin(kx+nπ/2)

用完全相同的道理

我们可以得到(coskx)的n阶导数的公式

注意表达式的外面仍然要乘上一个kⁿ

第四条幂函数的n阶导数xᵅ的n 阶导数

那么就=α(α-1)(α-2)

一直乘到(α-n+1)

然后x的方幂就是xᵅ⁻ⁿ

这里α不为正整数

第五个1/x的n 阶导数

这个是我们例题3里面推出来的

等于(-1)ⁿn!/xⁿ⁺¹

第六个(lnx) 的n阶导数

等于[(-1)ⁿ⁻¹(n-1)!]/xⁿ

同学们可以理解记忆上面的公式

在思考与练习中给同学们提供了3个题目

都是用间接法利用已经有的n 阶导数的公式

来求导的题目

同学们课后可以思考和查阅问题的解答

本讲课的学习就到这里了

谢谢大家