当前课程知识点:微积分I > 第五章 不定积分 > 5.1 不定积分的概念与性质 > 5.1.2 不定积分的概念及性质
第1讲中我们介绍了原函数的概念
连续函数一定有原函数
且原函数不唯一
f(x)的任一给定的原函数
F(x)+C这种形式的函数就表示了
f(x)的所有原函数
我们把它称为f(x)的不定积分
先给出如下定义
定义一
若F(x)是f(x) 的一个原函数
则称f(x)的全体原函数
F(x)+C为f(x)的不定积分
∫ f(x)dx=F(x)+C
其中最左边的符号称为积分号
f(x) 称为被积函数
f(x)dx 称为被积表达式
x称为积分变量
C称为积分常数
现在 我们来看几个例子
例一
求x⁵ 函数的不定积分
由于( x⁶/6)的导数
等于x⁵
故x⁵的不定积分
等于x⁶/6+C
由幂函数的导数公式
我们不难得到一般地情形 当α≠-1的时候
则有∫x ᵅ dx
等于1/(α+1)x ᵅ ⁺¹+ C
例二
求1+x²之和的倒数的不定积分
由于反正切函数的导数
等于1+x²之和的倒数
所以所求函数的不定积分为反正切函数
加任意常数C
现在来看 第三个例子
例三
求 1/x 的不定积分
当 x>0 的时候
(ln∣x∣)′=( lnx )′=1/x
当 x<0时 由复合函数求导得
(Inl x l)'=[In(-x)]'
等于(1/(-x))(-x)'=1/x
综上可得 当x≠0的时候
(ln∣x∣)′=1/x
所以 1/x的不定积分就是
Inlxl+C
我们容易想到(lnx)′=1/x
所以1/x的不定积分就等于 lnx+C
但这个结论不完全正确
因为lnx的定义域是x>0
1/x 的定义域是x≠0
(lnx)′=1/x
只是在x>0的区间内成立
所以lnx+C
只是1/x在x>0的区间内的不定积分
而不是1/x在定义域内的不定积分
下面我们介绍不定积分的几何意义
若 F(x) 是 f(x)的 一个原函数
则y=F(x) 的图形是
直角坐标系 Oxy 中的一条曲线
称f(x)的一条积分曲线
将这条曲线沿 y 轴向上或向下
移动长度为|C|的距离
就可以得到 f (x) 的无穷多条积分曲线
它们构成了一个曲线族
称为f (x)的积分曲线族
即为 f(x)的不定积分的几何意义
f (x)的这一族积分曲线的特点
在横坐标相同的点处
各积分曲线的切线有相同的斜率
都是 f (x)
即各切线平行
有时需要求f(x)通过一个定点
(x₀,y₀)的积分曲线
即满足条件y(x₀)=y₀的原函数
这个条件一般称为初始条件
由这个条件可以唯一确定常数C
例四
设曲线通过点(1,2)
且其上任一点处的切线斜率等于该点
横坐标的两倍
求此曲线方程
解
设该曲线方程为 y= F(x)
根据题意可知
y的导数也即是
F(x)'=2x
即F(x)是2x的一个原函数
所以F(x)=∫2xdx
等于x²+C
将x=1 y=2带入上述函数
得C=1 所求积分曲线为y=x²+1
最后
我们做一下小结
本节课我们学习了
不定积分的概念
并计算了部分简单函数的不定积分
介绍了不定积分的几何意义
好的 今天就讲到这里 谢谢
-1.1 预备知识
--1.1.2本节作业
-1.2 函数的概念
--1.2.2 本节作业
-1.3 函数的基本特性
--1.3.2 本节作业
-1.4 反函数与复合函数
--1.4.2 本节作业
-1.5 基本初等函数与初等函数
--1.5.2 本节作业
-1.6 经济学中几个常见的函数
--1.6.2 本节作业
-第一章单元练习
--习题训练
-2.1 数列的极限
--2.1.3 本节作业
-2.2 函数的极限
--课堂思考
--2.2.4 本节作业
-2.3 无穷小量与无穷大量
--课堂思考
--2.3.4 本节作业
-2.4 极限的性质
--课堂思考
--2.4.4 本节作业
-2.5 两个重要极限
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--2.5.9 本节作业
-2.6 函数的连续性
--课堂思考
--2.6.6 本节作业
-第二章单元练习
--习题训练
-3.1 导数的概念
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.1.7 本节作业
-3.2 求导法则
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--课堂思考(三)
--3.2.8 本节作业
-3.3 高阶导数
--3.3.3 本节作业
-3.4 函数的微分
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.4.8本节作业
-3.5 导数与微分的简单应用
--3.5.4本节作业
-第三章单元练习
--习题训练
-4.1 中值定理
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.1.7 本节作业
-4.2 洛必达法则
--课堂思考
--4.2.4 本节作业
-4.3 函数的单调性与极值
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.3.5 本节作业
-4.4 函数的最值及应用
--4.4.3 本节作业
-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点
--课堂思考
--4.5.4 本节作业
-4.6 函数的微分法作图
--课堂思考
--4.6.5 本节作业
-第四章单元练习
--习题训练
-5.1 不定积分的概念与性质
--5.1.4 本节作业
-5.2 换元积分法
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--5.2.5 本节作业
-5.3 分部积分法
--课堂思考
--5.3.2 本节作业
-5.4 有理函数的积分
--5.4.3 本节作业
-第五章单元练习
--习题训练