4.1.3 罗尔中值定理的应用在线视频

同学们好

上次我们学习了罗尔定理

今天我们通过几个例子

来学习罗尔定理的应用

首先

根据罗尔定理的结论

我们发现可以利用罗尔定理

来证明函数的零点的存在性

同学们回忆一下

前面我们也曾经学习过

一个可以用来证明函数零点存在性的定理

就是连续函数的介值定理

在对下面例题的学习中

大家注意一下二者的区别

下面我们先看例1

不求导数判断函数

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点

以及 其所在范围

注意到罗尔定理中的ξ

是函数f(x)的导数的零点

所以只需验证

f(x)满足罗尔定理的条件即可

显然

f(x)是多项式函数

在实数轴上满足连续和可导的条件

所以只需验证罗尔定理的第三个条件

既端点的函数值相等

通过观察发现

f(x)有三个零点1 2 3

也就是说

f(1)=f(2)=f(3)=0

所以f(x)在闭区间[1,2]

[2,3]

分别满足罗尔定理的三个条件

所以由罗尔定理可知在开区间

(1,2)内至少存在一点ξ₁使得f'(ξ₁)=0

所以

ξ₁是f'(x)的一个零点

在开区间(2,3)内

至少存在一点ξ₂

使f'(ξ₂)=0

所以ξ₂也是f'(x)的一个零点

很显然

这是f'(x)的两个不同的零点

大家思考一下

有没有可能存在第三个零点呢

通过观察可知

由于f(x)是三次多样式

从而f'(x)是二次多项式

只能有两个零点

分别在开区间(1,2)

及(2,3)内

所以不会有更多的零点了

大家可以进一步思考一下

f''(x)零点的情形

留作课后思考题

下面我们再看例2

设a₀+a₁/2+a₂/3+...+aₙ/(n+1)=0

证明f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ

在开区间(0,1)内存在零点

其中n为自然数

注意到罗尔定理的结论

给出的是函数导数的零点

而这个题是要证明f(x)的零点的存在性

那么我们就需要构造出另一个函数F(x)

使得F(x)的导数为f(x)

并且F(x)

还需要在闭区间[0,1]上

满足罗尔定理条件

所以证明的关键是

构造满足上述条件的F(x)

通过观察

要使得F(x)导数为f(x)

就必须令

F(x)=a₀x+(a₁/2)x²+(a₂/3)x³+...+[aₙ/(n+1)]xⁿ⁺¹

可见

这样的F(x)的导数为f(x)

下面我们验证

F(x)是否在闭区间[0,1]上满足

罗尔定理的条件

利用题目条件容易得到

F(0)=0

F(1)=a₀+a₁/2+a₂/3+...+aₙ/(n+1)=0

从而知道F(x)在闭区间[0,1]上

满足罗尔定理的条件

这样由罗尔定理就得到

f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ

在开区间(0,1)内存在零点

从例1和例2可以看出

利用介值定理和罗尔定理

证明函数零点的存在性的重要区别是

介值定理证明的是一个函数的零点的存在性

而罗尔定理证明的是

一个函数的导数的零点的存在性

请同学们在做题目时注意这个特点

再看例3

证明可导函数f(x)的两个零点之间必有

f(x)+f'(x)的零点

由前面两个例子知道

要证明一个函数的零点的存在性

就需要构造另外一个函数

使得所构造函数的导数等于此函数

由题目知需要构造一个函数

使得它的导数为f(x)+f'(x)

但是由题目条件

构造这样的一个函数似乎不太可行

由此我们转换一下思路

能不能构造一函数

使得它的导数含有因子

f(x)+f'(x)

由乘积函数导数的特点

我们可以构造函数

g(x)=eˣ f(x)

因为g'(x)=eˣ[f(x)+f'(x)]

而指数函数永远大于零

所以g'(x)的零点就是f(x)+f'(x)的零点

所以只需要对g(x)=eˣ f(x)

使用罗尔定理即可

接下来的关键就是寻找在哪个区间上对

g(x)=eˣ f(x)使用罗尔定理

由题目可以知道

此区间应该是

f(x)的两个零点构成的

同时可以看出

f(x)的零点即为g(x)的零点

结合前面例1 由罗尔定理可知

g(x)的两个零点之间

必有g'(x)的零点

这样就证明了

f(x)的两个零点之间必有

f(x)+f'(x)的零点

类似 欲证

f(x)-f'(x)存在零点

取g(x)=e⁻ˣ f(x)即可

下面我们再看两个例子

学习一下罗尔定理

在证明一些等式成立的应用

请看例4

设f(x)在[0,1]连续

在(0,1)内可导

且f(1)=0

证明存在ξ属于(0,1)

使得f'(ξ)+(1/ξ) f(ξ)=0

通过观察

要证明这个等式成立就等价于

要证明函数f'(x)+(1/x) f(x)

在开区间(0,1)年内存在零点

由此就启发我们需要构造一个函数F(x)使得

F(x)的导数等于f'(x)+(1/x) f(x)

通过观察

构造

这样的函数似乎不容易

由此我们对结论

变形

要证明的结论就等价于

ξ f'(ξ)+f(ξ)=0

这样一来

就转化为需要构造一个函数F(x)

使得F(x)的导数

等于x f'(x)+f(x)

由乘积函数求导的特点

显然容易想到

F(x)=xf(x)的导数

等于xf'(x)+f(x)

因此

我们令F(x)=xf(x)

并且容易验证F(0)=0=F(1)

从而F(x)在闭区间[0,1]上

满足罗尔定理的条件

这样我们就完成了题目的证明

再看例5

设f(x) g(x)在[a,b]上可导

g(x)≠0

f(a)=f(b)=0

证明存在ξ∈[a,b]

使f'(ξ)g(ξ)=f(ξ)g'(ξ)

我们先把结论变形为

f'(ξ)g(ξ)-f(ξ)g'(ξ)=0

要证明这个等式成立

就等价于要证明函数f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

在开区间(a,b)内存在零点

同理就需要构造一个函数

使得它的导数等于f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

考虑到这个表达式中间是减号

结合函数除法导数的特点

我们做辅助函数

h(x)=f(x)/g(x)

则h'(x)=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)

显然

h'(x)的零点就是

f'(x)g(x)-f(x)g'(x)的零点

所以下面只需验证

h(x)是否在闭区间[a,b]上

满足罗尔定理的条件

显然h(x)

在[a,b]上满足罗尔定理的条件

故存在ξ∈(a,b)

使f'(x)=0即f'(ξ)g(ξ)=f(ξ)g'(ξ)

最后

我们做个小结

通过上面的例子

同学们注意掌握利用所证明结论

构造符合罗尔定理条件的函数

从而利用罗尔定理的结论

证明所需结论的方法

今天就讲到这里

谢谢