2.2.1 函数在无穷远处的极限定义在线视频

同学们

从今天起

我们将学习函数的极限定义

函数的极限包括两种情形

一种是自变量趋于无穷大时函数的极限

另一种是自变量趋于固定值时函数的极限

在这里我们将介绍函数在无穷远处的极限定义

对函数性质的直观认识

通常是建立在有限区间基础之上的

然而通过这种认识方法

对函数性质的了解

往往还只是局部的或有限的

从微积分研究

需要和某些实际问题的讨论要求来看

对于定义在无穷区间上的函数f(x)

要了解其总体或全局的性质

还需要考虑自变量x

无限增大时函数的极限

及需要研究x→∞ 时

函数f(x)的变化趋势以及性质

比如下面的例子

1、考察函数

f( x )= arctan x沿 x 轴的两端

无限远去时的性状

事实上

要想研究这个性状

就必须研究 x→∞时

f( x )的变化趋势

2、考察点电荷电场的作功问题

在研究这个作功问题时

我们会遇到x→∞时

f(x)=kq/x²→0的极限问题

下面我们从直观认识和精确定义

来确定函数在无穷远处的极限

(1) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观认识

设有定义在(-∞ ,+∞)上的函数 y = f(x)

直观地考虑极限问题

f(x)→A ，x→∞

从曲线的变化可以看出

只要x>X₂或＜-X₁时

函数无限趋于某个常数

我们就可以认为x→∞时 f(x)→A

如同之前介绍的数列极限一样

这种直观认识是模糊的

不够精确的

因此这就有了如下的

精确定义

自变量趋于无穷大时

函数的精确定义为

设函数 f(x)

当|x|大于某正数M时有定义

如果存在常数A使得对于任意给定的正数ε

无论它多么小

总存在着正数X只要自变量x适合不等式 | x | >X

对应的函数值 f(x)

就都满足不等式| f(x)-A|＜ ε

那么常数

A就叫做函数f(x)

当x→∞时的极限

记作

lim x→∞ f(x) =A

或f(x)→A

这样的极限也叫做双侧极限

如果这样的常数不存在

那么称x→∞时

f(x)没有极限

这个精确定义也叫做ε– X 定义

要通过这个精确定义

来说明一个函数在无穷远处有极限

关键在于X 的确定

下面通过一个例子来说明

该精确定义的应用

例

用定义证明

lim x→∞ 1/x =0

我们先做一个分析

由极限的ε– X定义可知

x→∞时

f(x)→A就是对任意给定的正数ε

一定存在正数X

使得当|x|>X时 不等式 |f(x)-A|＜ ε

要说明这样的X存在

所以直接的办法就是将X找出来

由于式子|f(x)-A|

是随着| x| 的不断变大而逐步变小的

故可从所证式子|f(x)-A|＜ ε 出发

确定出X

归纳的看

用ε-X 定义证明函数极限为某定值

实际就是对给定的ε>0

从不等式|f(x)-A|＜ ε 出发 去找出X的过程

现在来具体证明

从不等式|f(x)-A|＜ ε 出发找X

由于|f(x)-A|= |1/x-0|=|1/x|

故

对任意给定的正数ε

要使得|f(x)-A|=|1/x|＜ ε

只需要|x|>1/ε

因此取X=1/ε

则对这个确定的X

当|x|>X=1/ε的时候

始终有|1/x-0|=|1/x|＜1/X=ε

由极限的ε-X定义可知

1/x在x→∞时候

极限等于零

由于x→∞的过程可以是取正值无限增大

也可以是取负值绝对值无限增大

因此x→∞的过程是一种双向极限过程

在某些具体问题讨论中常常需要

分别考察函数x→-∞和x→+∞时的极限问题

于是有了

相应单侧极限的概念

下面考察自变量趋于无穷时

单侧极限的精确定义

它包括两种情形

一 、自变量取正值且无限增大时候的极限

它是指设函数y= f(x) 当x 大于某正数时有定义

如果

存在常数A

使得对于任意给定的无论多么小的正数ε

总存在正数X

只要自变量适合不等式

x>X对应的函数值

f(x)都满足不等式

|f(x)-A|＜ε

那么常数A就叫做函数y=f(x)

当x→+∞时候的极限

记作x→+∞

f(x)→a

或者lim x→∞ f(x)=A

如果这样的常数不存在

那么x→+∞时f(x)没有极限

二、自变量取负值

而绝对值无限增大时的极限

它是指设函数y=f(x)

当x小于某负数时有定义

如果存在常数A

使得对于任意给定的

无论多么小的正数ε

总存在正数X

只要自变量适合不等式 x＜-X

对应的函数值f(x)都满足不等式

|f(x)-A|＜ε

那么 常数A就叫做函数y=f(x)

当x→-∞时的极限

记住limx→-∞ f(x) =A

或x→-∞时 f(x)→A

如果这样的常数不存在

那么称x→-∞时

f(x)没有极限

通常来说

自变量趋于无穷时的单侧极限

虽然是函数极限的一种特殊形式

但它和对应双侧极限

却有着密切的联系

由函数当自变量趋于无穷时的单侧极限

与两侧极限的定义容易证明

二者有如下关系

lim x→∞ f(x) =A ⇔ lim x→-∞ f(x) =A=lim x→+∞ f(x)

下面

应用该关系来判断函数的极限

例

判别极限lim x→∞ arctanx 是否存在

若存在试确定之

若不存在

试说明理由

分析

由于基本初等函数arctanx

只是形式表达式而非运算式

因此可直接从其几何性质

考察极限的存在性

由函数图形容易看出

当x→-∞和x→+∞时

该函数有不同的变化趋势

故可由单侧极限确定

该极限不存在

具体求解为通过单侧极限进行考察

因为lim x→-∞ arctanx=-π/2

lim x→+∞ arctanx =π/2

故由单侧极限与双侧极线的关系知

极限不存在

下面我们总结一下

同学们

今天我们重点介绍了函数

在无穷远处的极限

及其在两侧无穷远处极限的关系

好 同学们

此次内容到此为止

谢谢大家