5.4.1 真分式的分解在线视频

第九讲

真分式的分解

前面介绍了不定积分的换元积分法和分部积分法

下面介绍有理函数的不定积分

首先介绍有关的概念

和真分式的分解

设P(x)和大Q(x)

为两个给定的多项式

则称两个多项式的商

为有理函数或分式函数

多项式中非零项变量x的

最高次幂的次数称为多项式的次数

如多项式P(x)

和

Q(x)的次数分别为n和m

(1)当n＜m的时候

我们称这个有理函数为真分式

(2)当n≥m的时候

我们称

这个有理函数为假分式

利用多项式的除法

假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和

比如有理函数(x³+x+1)/(x²+1)

分子次数是3

分母次数为2

即分子的次数大于分母的次数

所以这个有理函数是假分式

可以把分子中高于或等于分母次数的项

都化为含有分母为因子的项

通过恒等变形

即把分子变形为x(x²+1)+1

再把商拆开

即得x+1/ (x²+1)

即化为了多项式和一个真分式之和

这种假分式的积分就化为了多项式

与真分式的积分

而多项式的积分归结为幂函数的积分

可以代公式

故只需要讨论真分式的积分

从而有理函数的积分

就归结为真分式的积分问题

而如何对真分式积分呢

我们将真分式化为最简的真分式

称其为部分分式之和

所谓的最简的真分式

是指如下的四种真分式

称为部分分式

（1）

A/(x-a)

(2) A/(x-a)ⁿ

其中的n≥2

(3) (Ax+B)/(x²+αx+β)

这种形式的分式

其中α²-4β一定小于0

也就是分母当中的

二次三项式

在实数范围内是不能再分解因式的

（4）

(Ax+B)/(x²+αx+β)ⁿ

同样我们的α²-4β＜0

其中的n大于等于2

这四类部分分式均可积分

且原函数都是初等函数

所以有理函数的原函数都是初等函数

真分式化为部分分式之和的一般规律

设Q(x)分之P(x)为给定的真分式

将分母Q(x)在实数范围内

分解因式

可分解为若干个一次和二次因式的乘积

这里的二次因式是在实数范围内不能再分解的

进而可将此真分式

分解为相应部分分式之和

其分解规则如下

（1）

若分母

当中有因式x-a

则我们真分式分解式中

就有部分分式A/(x-a)

(2)

若分母的分解式中有

因式(x-a)ᵏ k≥2

则我们真分式分解式中

就有如下的k个部分分式

第一个部分分式是A₁/(x-a)

第二个是A₂/(x-a)²

直到第k个是Aₖ/(x-a)ᵏ

其中A₁ A₂ ...Aₖ都是常数

(3)

若分母的分解式中

有在实数范围内

不能再分解因式的二次因式

x²+px+q

其中的p²-4q＜0

则真分式分解式中就有这样的部分分式

(Mx+N)/(x²+px+q)

第(4)

当我们分母分解式中

有这样的因式

(x²+px+q)ᵏ

k是大于等于2的

其中的p²-4q<0

则我们的真分式分解式中

就有如下的k个部分分式

其中第一个部分分式为(M₁x+N₁)/(x²+px+q)

第二个

那就是x²+px+q

这个代数和的二次幂分之

某一个一次多项式(M₂x+N₂)/(x²+px+q)²

直到第k个为x²+px+q的

这个代数和的k次幂分之

又一个一次多项式

(Mₖx+Nₖ)/(x²+px+q)ᵏ

其中的Mᵢ Nᵢ都是常数

真分式化为部分分式之和的

待定系数法

我们来看第一个例子

我们将真分式(x+3)/(x²-5x+6)

分解为部分分式

解 先将分母分解因式为

(x-2)(x-3)

由真分式分解规则可知

其真分式的分解式中分别有

与一次因式x-2和x-3有关的部分分式

那就是A/(x-2)

和B/(x-3)

其中A B为某个待定常数

即我们真分式可分解为如下的部分分式的和

比如说原来的真分式可以分解为

A/(x-2)+B/(x-3)

那么这样的等式两端同时乘以(x-2)(x-3)

我们去分母得恒等式

有x+3=A(x-3)+B(x-2)

也等于(A+B)x-(3A+2B)

比较两端同次幂的系数

我们可以得到A+B=1

-(3A+2B)=3

即可以解得A=-5 B=6

即所求的真分式分解为

部分分式结果如下

(x+3)/(x²-5x+6)

=-5/(x-2)+6/(x-3)

我们来看例2

将真分式1/x(x-1)²

分解为部分分式

解 根据分母因式分解式

由真分式的分解规则可知

其分解式中分别有

与一次因式x有关的部分分式A/x

有与一次因式x-1有关的两个部分分式

B/(x-1)和C/(x-1)²

其中A B C为待定常数

即真分式可分解为如下部分分式的和

即1/x(x-1)²

=A/x+B/(x-1)+C/(x-1)²

上式两端同乘以

x(x-1)²

我们去分母得恒等式

即1=A(x-1)²+Bx(x-1)+Cx

代入特殊值来确定待定系数

取x=0

我们可以得到A=1

在取x=1可得C=1

比较个x²的系数

我们可得A+B=0

由此可得B=-1

所以原真分式可分解为如下部分分式

即原来的真分式可分解为

1/x-1/(x-1)+1/(x-1)²

例3

将真分式(2x+2)/[(x-1)(x²+1)²]

分解为部分分式

解

根据分母的因式分解式

由真分式分解规则可得

其分解式中分别有

与一次因式x-1有关的部分公式

A/(x-1)

也有与二次因式x²+1有关的两个部分分式

即(Bx+C)/(x²+1)+(Dx+E)/(x²+1)²

其中的A B C D E 均为待定常数

所以真分式可分解为

A/(x-1)+(Bx+C)/(x²+1)+(Dx+E)/(x²+1)²

上式两端同乘以

(x-1)(x²+1)²

去分母得恒等式

2x+2=

A(x²+1)²+(Bx+C)(x-1)(x²+1)+(Dx+E)(x-1)

我们取x=1可以得A=1

比较x⁴的系数可以得B=-1

再比较x³的系数可得

C-B=0从而得C=-1

比较常数项得2=A-C-E

可得E=0

比较x的系数

可得2=-B+C-D+E

从而可得D=-2

故我们的真分式的分解结果为

1/(x-1)-(x+1)/(x²+1)-2x/(x²+1)²

小结

本讲告诉我们有理函数

可化为真分式与多项式的和

而真分式又可以化为部分分式的代数和

我们用代定系数法

进而有理函数的积分最终可转化为

部分分式的积分