3.1.4 可导与连续的关系在线视频

同学们好

今天我们要来研究

函数的可导性与连续性的关系

来看定理

如果函数y=f(x) 在点x₀处可导

则y=f(x)在点x₀处必然连续

也就是说函数在可导点处必然连续

我们先来一起看一下函数连续的定义

函数y=f(x)在点x₀处连续是指

当自变量的改变量Δx→0的时候

所对应的函数值的改变量Δy一定以0为极限

而函数在点x₀处可导

是指分式Δy/Δx

Δx→0的时候极限存在

下面我们用定义来证明这个定理

证明 首先我们计算出函数值的改变量

Δy 等于f 在终点处的函数值f(x₀+Δx)

减去f在起点处的值

f(x₀)

由于y=f(x)在x=x₀处可导

所以Δy/Δx当Δx→0的时候

极限存在且这个极限就等于f'(x₀)

所以Δy

当Δx→0的时候的极限

就等于Δy/Δx

再乘上一个Δx

让Δx→0取极限

注意这里做了恒等变形

我们除一个Δx再乘一个Δx 就还原回去了

由于我们已知

Δx→0的时候

Δy/Δx极限存在且等于f'(x₀)

所以上面的这个乘积的式子里面

第一个极限它是存在的

接下来我们再用乘积的极限

等于分别取极限做乘积

这一个极限存在准则

把这个式子展开

就等于limΔx→0

Δy/Δx去乘以Δx

让Δx→0的时候取极限

注意到后面这个式子

Δx是趋于零的

所以后面这个式子的极限它就等于0

而前面这一个

Δy/Δx

Δx→0的时候的极限

正好就是f'(x₀)

所以我们就得到了Δy的极限就等于

f'(x₀)乘上0

刚好结果就是0

由于自变量Δx的改变量趋于零的时候

Δy的极限等于0了

所以利用函数在x₀这一点处连续的定义

我们就证到了已知函数f(x)在x₀这一点处可导

那么就可以得到函数y=f(x)

在点x₀这一点处连续

注意该定理的逆定理不成立

即y=f(x)在点x₀这一点处连续

不能够推出

y=f(x)在x₀这一点处可导

下面我们分三种情况来说明该定理的逆定理不成立

先来看第一种情况

情况1

函数f(x)在点x₀处连续

但是在x₀这一点处的左右导数不相等

则函数y=f(x)在点x₀处不可导

我们把左右导数不相等的点称为是角点

对应的例题有我们前面介绍过的

函数y=f(x)=|x|

由于该函数在x₀这一点处的右导数等于1

而左导数等于-1

左右导数呢

不相等

所以x₀=0是一个角点

从图像上也可以看到

函数的图像在x₀=0这一点处有一个尖

所以函数在点x₀这一点处连续

但是它在点x₀处是不可导的

再比如分段函数f(x)=x²

当x≤0的时候

x>0的时候

f(x)=x

这一个分段函数

我们用导数的定义可以算出

它在x₀这一点处的左导数等于0

在x₀这一点出的右导数等于1

由于左右导数不相等

所以函数y=f(x)在x=0处是不可导的

这里x=0就是一个角点

但是函数在点x=0这一点处是连续的

因为Δx→0的时候

函数值的改变量

Δy以0为极限

情况2

函数f(x)在点x₀这一点处连续

但是导数算出来是无穷

即 Δy /Δx

当Δx→0的时候的极限

我们把Δy具体的写出来

把分子写成是

f(x₀+Δx)-f(x₀)

那么整个分式的极限

当Δx→0的时候

算出来是无穷

我们就称函数f(x)在点x₀处有无穷导数

也就是说函数在这一点处不可导

例如y=xᶺ(1/3)

在x=0这一点处是连续的

我们可以通过图像来验证

但是当x→0的时候

[f(x)-f(0)]/(x-0)

我们用定义去算它的导数

这个表达式算出来呢

x→0的时候

分子写出来就是xᶺ(1/3)

分母是x

当x→0的时候

这个式子的极限等于无穷大

所以这又是一个函数在给定的点x=0这一点处连续

但是在x=0这一点处不可导的例子

因为此时导数为无穷大了

从图像上可以看到

此时存在垂直的切线

情况3

函数y=f(x)在x=x₀这一点处连续

但是它在该点处的左右导数

都不存在

则函数在点x₀不可导

我们通过例题来看

例如函数f(x)当x≠0的时候

等于xsin(1/x)

x=0的时候=0

我们可以先验证函数y=f(x)在点x₀这一点处连续

由于x→0的时候

f(x)的极限等于

xsin(1/x)让x→0取极限

那么注意到x→0的时候

sin(1/x)是一个有界函数

而x是趋于0的

所以我们用无穷小乘有界函数

结果是无穷小

我们计算出

这一个极限值=0

恰好就等于f在0这一点处的函数值 等于f(0)

所以f(x)

在x=0这一点处连续

但是函数在x=0这一点处的导数

我们用导数的定义来计算

lim (x→0) (f(x)-f(0))/(x-0)

把f(x)的表达式代进去

注意到f(0)是等于0的 分子就写出来是xsin(1/x)

分母是x

上下把相同的变量x给它约掉

那么函数y=f(x)

在x=0这一点处的导数就等于limsin(1/x)

而根据sinx的图像

我们知道当x→0的时候

sin(1/x)是一个震荡函数

它的图像在-1和1之间来回震荡

这就意味着当Δx→0的时候

Δy/Δx 这个比值的极限

在-1和+1之间来回的震荡

所以这一个表达式的极限不存在

所以f(x)在x=0这一点处就不可导

综上所述

我们一定要记住函数在某一点处可导

可以推出它在该点处必然连续

但是

逆定理是不成立的

下面我们再来看一个常见的例题

它也要用函数的可导性与连续性的关系才能够得到解决

例题

设x≥1的时候

f(x)=x³

x<1的时候

f(x)=ax²+b

求适当的实数a b

使f(x)在x=1这一点处可导

注意到这个问题里面有两个待定常数

而我们用定理可以知道函数在某一点处可导

必然推出它在该点处是连续的

所以由函数在分段点x=1连续和可导

两个条件

可以得到关于待定系数a b 的两个方程

联立求解就可以计算出a b 的值了

解

我们先求出分段函数

f(x)在分段点x=1的左右极限

首先我们去计算它在x=1这一点处的右极限

让自变量x从大于1趋于1取极限

x→1⁺

注意到函数的表达式是x³

那么x→1⁺的时候

它的右极限算出来就是+1

那么再去算左极限x→1⁻

由于函数的表达式是ax²+b

把x→1⁻带进去

左极限算出来就等于

a+b

由于已知f(x)在x=1这一点处可导

根据定理可导必然连续

所以

函数f(x)在x=1这一点处的左右极限必然相等

这样我们就得到a+b=1

接下来计算函数f(x)

在分段点x=1这一点处的左右导数

首先我们用定义计算出右导数

f'₊(1)

右导数

我们把分子呢

写成是终点处的函数值减去起点处的函数值

所以分子写出来是x³-1

分母是自变量的改变量

分母写出来是x-1

让自变量x 从大于1 趋于1 取极限

那么分子用立方差公式分解因式

分子可以分解成(x-1)(x²+x+1)

那么上下把x-1这个因式给它约掉

这样呢我们就得到这一个右导数

它的这个表达式

x→1⁺的时候是x²+x+1

把x→1⁺代进去

右导数

我们算出来就=3

接下来我们再去算左导数

左导数f'₋(1)

那么让自变量从小于1 趋于1

我们分母写出来仍然是x-1

分子呢

f 在x<1的时候

它的表达式是ax²+b

而f(1)是等于1的

所以我们分子写出来是ax²+b-1

上面我们已经得到了a+b是等于1的

从a+b=1中解出 b-1=-a

将b-1=-a代入左导数的表达式的分子里面

分子就写成是ax²-a

分母现在是x-1

那么我们把分子提取公因子

提一个a出去分解因式

把x-1给它约掉

那么再把x趋于1⁻代进去

经过计算

f在1这一点处的左导数算出来就等于2a

由于已知f 在x=1这一点处可导

根据我们今天学习的定理

f(x)在x=1这一点处的左右导数就应该相等

所以3=2a

这样我们就算出a的值

a=3/2

将a=3/2代入a+b=1

我们就可以算出b=-1/2

从而解决了这个问题

最后我们来归纳一下这一讲的内容

核心内容是可导的函数一定连续

但是函数在某一点处连续不能够推出

函数在该点处可导

具体来说

如何判断函数的可导性呢

我们指出如果函数y=f(x)在点x₀处不连续

那么它在点x₀处一定不可导

我们简记为不连续一定不可导

如果函数在点x₀处是连续的

对一般的初等函数用定义判别

而对于分段函数的分段点

就需要去看函数在该点处的左右导数是否存在且相等

来判断函数在该点处是否可导了

今天的课程就到这里了

谢谢大家