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2.5.8 等价无穷小量的代换求极限在线视频

下一节:2.6.1 函数连续的定义

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2.5.8 等价无穷小量的代换求极限课程教案、知识点、字幕

第26讲

等价无穷小量的代换求极限

同学们

上一讲我们重点介绍了一些常见的等价无穷小

本讲将利用等价无穷小代换来计算极限

首先我们来看等价无穷小代换定理

定理

设在自变量的同一趋势下

如果

α(x)~α'(x)

β(x)~β'(x)

并且

limβ'(x)/α'(x)存在

则有

limβ(x)/α(x)=limβ'(x)/α'(x)

证明

根据等价无穷小的定义来证明如下结论

由已知条件可得

limβ/β'=1

limα'/α=1

故有

limβ/α=limβ/β'·β'/α'·α'/α=limβ/β'limβ'/α'limα'/α=limβ'/α'

即limβ/α=limβ'/α'

等价替换原理提供了一种

利用等价无穷小代换化简极限的方法

即将β、α分别换成相应同类函数的等价无穷小β'、α'

使得原不定式转化为

同类无穷小之比

limβ' ( x )/α' ( x )

再进行计算

从运算角度看

等价无穷小代换可以将各类无穷小

都转换成 x 的幂的无穷小形式

以在各类 0/0型不定式中约去公共零因子

下面我们来看该等价替换原理条件的分析本质

利用等价替换原理作等价无穷小代换

需注意理解其代换的本质

这种代换实际是在

极限式中乘上值为1的因子limβ/β'=1

lim α'/α = 1

而达到无穷小形式转换效果的

即 limβ/α=limβ/β'·β'/α'·α'/α=limβ/β'limβ'/α'limα'/α=limβ'/α'

因此这种代换只能用于乘积式当中的分子

分母为单项式时的乘积因子

而不能代换其和式中的项

例如

计算极限

lim x→0 ln(1+3X²)/(1-cosx)

我们先做一个简单分析

对此 0/0型的不定式

由于其分子分母不是同类函数

因而没有公共零因子

为此可考虑通过等价无穷小代换

将分子分母转化为同类函数无穷小

再进行化简和计算

具体求解

首先

利用等价无穷小代换化简计算

先考虑寻求分子分母的等价无穷小

由于当 t → 0 时 sin t~ t

故有α(x)=1-cosx=2sin²x/2~2(x/2)²=x²/2=α'(x)

对于β( x )= ln( 1 + 3 x² )

已知当 u → 0 时

ln( 1 + u ) ~ u

故有β ( x )= ln( 1 + 3x² ) ~ 3x² =β' ( x )

于是由等价无穷小的代换性质有

lim x→0 ln(1+3x²)/(1-cosx)

等于limx→0 3x²/(x²/2) =6

例2

下面讨论函数极限

lim x→0 (tanx-sinx)/x³

试比较如下两种解法

解法1

直接通过等价无穷小代换计算

因为当 x → 0 时

sin x~x

tan x ~ x

故有

lim x→0 (tanx-sinx)/x³=lim x→0 (x-x)/x³=lim x→0 0/x³=0

解法2

分子化为单项式再作等价无穷小代换

因为当 x → 0 时

sin x ~ x

1 - cos x ~ x²/2

故有

lim x→0 (tanx-sinx)/x³=lim x→0 sinx(1-cosx)/(x³cosx)

等于lim x→0 x·(x²/2)/(x³cosx)=1/2

在这两个解法中

事实上解法1是错误的

解法2才是正确的

这是因为

这种等价代换只能用于乘积式中分子

分母为单项式时的乘积因子

而不能代换其和式中的项

所以今后在利用等价替换原理来计算极限时

一定要注意到这一点

下面我们做个简单总结

同学们

今天我们重点介绍的是

等价无穷小量的等价代换原理以及应用

在计算 0/0 的未定式时

我们利用该替换原理可以方便地计算出极限来

好

今天的内容就到此为止

谢谢大家

微积分I课程列表：

导言课程介绍

-微积分简要介绍

第一章函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一函数图形

第二章极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二求极限

第三章导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三求导数

第四章中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四求函数最值

第五章不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

2.5.8 等价无穷小量的代换求极限笔记与讨论

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