当前课程知识点:微积分I > 第二章 极限与连续 > 2.5 两个重要极限 > 2.5.2 第一重要极限
同学们
上一讲
我们介绍了判断极限的夹逼准则
这一讲
我们将利用夹逼准则来获得第一重要极限
该重要极限
在我们计算未定式函数的极限时
将起到举足轻重的作用
首先
我们来看第一重要极限的形式
lim x→0 sinx/x=1
1. 第一重要极限的导出
我们先做一个简单分析
该极限是 “0/0” 型不定式
是由于其分子分母不是同类函数
不能分离出公共无穷小
并且函数sinx
仅仅是形式表达是不具有运算意义
故称此极限形式虽然简单
却不能用已知的极限计算法求之
为此考虑通过单位圆中的函数
sinx 的几何意义
对此极限做直观分析
以寻求计算的方法
作单位圆O
圆心角∠COB 及辅助线AC 、BD为讨论方便
不妨假设 0<x<π/2
由几何直观有
三角形OBC面积 < 圆扇形OBC 面积 < 三角形OBD面积
采用弧度制直接计算可以得到
S△OBC =1/2∣OB∣∣AC∣=sinx/2
圆扇形OBC 的面积等于
1/2∣OB∣×弧长∣BC∣=x/2
S△OBD=1/2∣OB∣∣BD∣=tanx/2
由此得到不等式
sin x/2 < x/2 <tan x/2
即有sin x < x < tan x
由于当 0 < x < π/2 时
有sin x > 0
故由上面不等式可得
1<x/sinx<1/cosx ⇔ 1>sinx/x>cosx
此不等式是偶函数不等式
故当 -π /2 < x < π/2时不等式也成立
由于lim x→0 g(x) =lim x→0 cosx=1
lim x→0 h(x)=lim x→0 1=1
故由夹逼准则知
lim x→0 simx/x =1
该重要极限的几何意义是弧度制下圆心角 OCC'
所对弧CC'的长2X与CAC'的长2sinx之比的极限
二、此重要极限的要点以及意义
1. 是该重要极限是在弧度制下导出的
由于基本不等式
sinx<x<tanx
是通过面积关系建立的
而圆扇形面积计算
是在弧度制下导出的
故此极限结果是基于弧度制的
若不采用弧度制而采用度分秒制
此极限结果将不具有如此简单的形式
2. 是该重要极限建立了
三角函数与幂函数构成的函数的
“0/0”不定式极限的基本关系式
在遇到这类不定式极限问题时
可考虑利用此结果进行计算
相关应用
我们稍后将介绍
下面我们总结一下同学们
今天我们重点介绍了第一重要极限
同学们要注意它的基本结构以及形式
好
今天的内容就到此为止
谢谢大家
-1.1 预备知识
--1.1.2本节作业
-1.2 函数的概念
--1.2.2 本节作业
-1.3 函数的基本特性
--1.3.2 本节作业
-1.4 反函数与复合函数
--1.4.2 本节作业
-1.5 基本初等函数与初等函数
--1.5.2 本节作业
-1.6 经济学中几个常见的函数
--1.6.2 本节作业
-第一章单元练习
--习题训练
-2.1 数列的极限
--2.1.3 本节作业
-2.2 函数的极限
--课堂思考
--2.2.4 本节作业
-2.3 无穷小量与无穷大量
--课堂思考
--2.3.4 本节作业
-2.4 极限的性质
--课堂思考
--2.4.4 本节作业
-2.5 两个重要极限
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--2.5.9 本节作业
-2.6 函数的连续性
--课堂思考
--2.6.6 本节作业
-第二章单元练习
--习题训练
-3.1 导数的概念
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.1.7 本节作业
-3.2 求导法则
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--课堂思考(三)
--3.2.8 本节作业
-3.3 高阶导数
--3.3.3 本节作业
-3.4 函数的微分
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.4.8本节作业
-3.5 导数与微分的简单应用
--3.5.4本节作业
-第三章单元练习
--习题训练
-4.1 中值定理
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.1.7 本节作业
-4.2 洛必达法则
--课堂思考
--4.2.4 本节作业
-4.3 函数的单调性与极值
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.3.5 本节作业
-4.4 函数的最值及应用
--4.4.3 本节作业
-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点
--课堂思考
--4.5.4 本节作业
-4.6 函数的微分法作图
--课堂思考
--4.6.5 本节作业
-第四章单元练习
--习题训练
-5.1 不定积分的概念与性质
--5.1.4 本节作业
-5.2 换元积分法
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--5.2.5 本节作业
-5.3 分部积分法
--课堂思考
--5.3.2 本节作业
-5.4 有理函数的积分
--5.4.3 本节作业
-第五章单元练习
--习题训练