当前课程知识点：微积分I >  第三章 导数与微分 >  3.4 函数的微分 >  3.4.4 微分的四则运算

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3.4.4 微分的四则运算在线视频

下一节:3.4.5 微分的复合运算规则

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3.4.4 微分的四则运算课程教案、知识点、字幕

我们今天来学习第十九讲

微分的四则运算

我们知道函数y=f(x)

它的微分公式为dy=f'(x)dx

并且前面我们已经知道

基本初等函数的导函数

以及

函数的导函数的计算方法

所以由函数微分分公式

下面分别根据基本初等函数的导函数

以及函数导函数的四则运算

推导基本初等函数的微分

以及函数的微分四则运算公式

由微分的定义以及基本初等函数的导函数公式

容易得出如下的基本初等函数的

微分公式

幂函数x∧μ

他的导函数等于μx∧μ-1

幂函数的微分等于

μx∧（μ-1）dx

三角函数

正弦sinx的导函数

等于cosx

d（sinx）=cosxdx

三角函数

余弦cosx的导函数

等于负的sinx

所以d（cosx）=-sinxdx

三角函数tanx的导函数

等于sec ²x

d（tanx） =sec ²xdx

三角函数cotx的导函数为-csc ²x

d（cotx） =-csc²x dx

三角函数secdx的导函数

等于secx乘tanx

d（secx）=secxtanxdx

三角函数cscx导函数是等于

负的cscx乘cotx

d（cscx）=-cscxcotxdx

指数函数a的x次幂的导函数等于

a的x幂乘lna

d（aˣ）=aˣlnadx

特殊的指数函数

以e为底的指数函数

它的导函数该为eˣ

d（eˣ）=eˣdx

对数函数log以a为底

x的对数它的导函数是

x乘lna分之一

d（logₐx）=（1/xlna）dx

特殊的对数函数

lnx的导函数得x分之一

d（lnx）=(1/x)dx

反三角函数arcsinx的导函数等于

1/√1-x ²

d（arcsinx）=（1/√(1-x ²）)dx

反三角函数arccosx的导函数等于

-1/√(1-x ²)

所以

d（arccosx）=（-1/√(1-x ²)）dx

反三角函数arctanx的导函数

等于1/（1+x ²）

d（arctanx）=（1/(1+x ²)）dx

反三角函数arccotx的导函数等于

-1/(1+x ²)

d(arccotx)=-(1/(1+x ²))d x

基本初等函数

它的微分公式可以通过导函数推导出来

那么常见的一些微分

请大家下去自己写一下

根据上表

它的结果说明

表中的各项微分公式是不难理解的

那应注意

对其反过来进行掌握

便于我们后面的计算

即假设已知某个基本初等函数的微分

能立即看出他是哪一个函数的微分

得出来的

即

f'(x)dx 应该要知道是哪一个函数的微分

二 函数微分的四则运算法则

由于微分运算

实际上是作导数运算

因而有导数运算法则

可方便的得到相应的微分运算法则

我们先看和差积商的求导法则

代数和的导函数

导函数代数和

因而就可以得出

代数和的微分等于微分的代数和

即d（u±v）=du±dv

乘积里面

特殊的乘积

数乘函数的导函数

等于数乘函数的导函数

也就是c倍u的导函数等于

c乘以u的导函数

d（cu）=cdu

乘积的导函数

两项乘积的导函数u乘v

乘积的导函数

等于第一项的导函数乘第二项

加上第一项乘第二项的导函数

因而乘积的微分

d（uv）

等于第一项的微分乘

第二项加上第一项乘第二项的微分

d（uv）=vdu+udv

商的导函数

等于分母平方

分子求导乘分母

减去分子乘分母的导函数

所以也就是u/v的导函数等于

v平方分之

u的导函数乘v减u乘v的导函数

那相应商的这个微分d（u/v）

等于v 平方分之

分母乘分子的微分

减去分子乘分母的微分

d（u/v）=(vdu-udv)/v ²

这就是由和差积商的求导法则

得出和差积商的微分运算法则

下面就相应的运算法则

作一个简单的计算

求函数y=3x³-5x+4sinx的微分

那我们这里由前面的知识

我们可以知道求函数的微分

你可以用两种形式来做计算了

一个是先求出函数的导函数

再求函数微分

另外一种计算就可以利用

微分的运算法则

我们用两种方式来计算一下

解法一

因为y ‘=9x ²-5+4cosx

所以dy=（9x ²-5+4cosx）dx

解法二

由代数和的微分等于微分的代数和

所以

dy=d（3x³-5x+4sinx）

等于9x²dx-5dx+4cosxdx

整理一下就得出

（9x²-5+4cosx）dx

下面再看一个例

例2

假设y =tanx/(1+e ˣ )

求y的微分

由前面刚才的知识

我们知道

要求函数的微分有两种计算方法

一种可以先求出函数的导函数

再求函数微分

这种方法大家应该是很熟悉了

因为导函数在前面已经做了很多的运算

另外一种方法是根据微分的运算法则

此题

因为是商的结构

所以利用商的微分

那d（u/v）=(vdu-udv)/v ²

所以

函数1+e的x次方

分之tanx微分

可以写成〔(1+eˣ)d（tanx）-tanxd（1+eˣ ）〕/(1+eˣ )²

整理一下

可以得出

如下式子

〔〔(1+eˣ)sec²x-e ˣtanx〕/(1+eˣ )²〕dx

这个式子就是为所求的微分

那微分的计算有两种方法

两种方法

试着情况而定

由自己来把握

如何用相应的方法来计算

这个不做硬性的要求

非要用哪一种方法

总结一下

由函数y =f(x)微分为dy=f'(x)dx

可以得出函数的微分的两种计算思路

一种是先求出函数的导函数

再乘上自变量微分

另外一种情况就利用函数的微分公式

那我们要熟悉下基本初等函数的微分

那从而得出初等函数的微分

也就是求函数的微分

本小节内容到此结束

谢谢

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

3.4.4 微分的四则运算笔记与讨论

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