当前课程知识点：微积分I >  第二章 极限与连续 >  2.6 函数的连续性 >  2.6.5 最值定理及介值定理

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2.6.5 最值定理及介值定理在线视频

下一节:数学实验二 求极限

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2.6.5 最值定理及介值定理课程教案、知识点、字幕

同学们好

今天作为连续函数的结束

我们学习闭区间上的连续函数的

两个重要的性质

最值定理和介值定理

首先我们学习最值定理

也称为最大值最小值定理

定理1 最大值最小值定理

在闭区间上连续的函数

在该区间上一定能取得最大值和最小值

也就是说

如果函数 f(x) 在闭区间[a, b]上连续

则一定在闭区间[a, b]上存在两点

ξ₁和ξ₂使得f (ξ₁)=M 和f (ξ₂)=m

其中M 表示最大值 m 表示最小值

注意到定理的两个条件

一个是闭区间

一个是连续性

少一个条件

定理可能就不成立

比如左边这个图

函数不满足闭区间这个条件

所以函数虽然是有界的

但取不到最大值和最小值

只能无限接近最大值和最小值

这种例子特别多

比如函数y=x在开间区(0,1)函数有界

上界是1

下界是0

但是在区间(0,1)内取不到0和1

如果函数不是连续的

也就是说在区间内有间断点

定理也有可能不成立

比如看右边这个图

函数有个间断点

从图形上看函数也有界

下界是0

上界是2

但是函数也取不到最大值和最小值

只能无限接近0和2

关于最值定理的证明

要用到比较多的实数理论知识

超出本课程范围

此处略去

有兴趣的同学可以参看有关数学分析方面的教材

下面我们再看另外一个性质 介值定理

如果y=f(x) 在闭区间[a, b] 上连续

则 f(x) 在[a ,b] 上能取到最大值

M 和最小值m 之间的任何数值

即对于介于m 和M 之间的任何实数C

即m≤C≤M

存在ξ∈[a,b] 使得f (ξ)=C

关于介值定理的证明

也要用到比较多的实数理论知识

超出本课程范围

此处略去

有兴趣的同学可以参看有关数学分析方面的教材

虽然我们没有证明介值定理

但是从介值定理的几何意义来看

正确性是显然的

我们从这个图上可以看出

对介于最小值和最大值之间的任意值C

从图形来看

就是一条水平的直线 y=C

而最小值和最大值的几何表示

分别是两条水平的直线y=m和y=M

很显然

直线y=C 介于直线y=m和y=M之间

由于函数为连续函数

所以曲线是一条连续的曲线弧

这样直线y=C 必然要与函数的曲线相交

比如说交点的横坐标为ξ 则f(ξ)=C

显然定理只说了这样的点一定存在

并不一定唯一

事实上

从图上看出

这样的点可以有多个

如果函数严格单调

则这样的点就是唯一的

下面我们看介值定理的一个特殊情形

虽然是特殊情形

但是在实际应用当中比较有用

我们先给一个函数零点的定义

如果x₀使f (x₀) =0 则x₀称为函数f(x)的零点

则我们有下面的一个结论

我们称为零点定理

如果y=f(x) 在闭区间[a ,b] 上连续

且f (a) 与f (b) 异号

则存在ξ∈(a,b) 使f(ξ)=0

即方程f(x) =0在(a,b)内至少存在一个实根

很显然

零点定理是介值定理的一个特殊情形

并且零点定理用起来更方便

它只需要判定函数在区间的端点值异号即可

零点定理的几何意义也是很显然的

我们看下图

从图上看

既然函数在区间的端点值异号

则就意味着函数曲线的两个端点分别在x 轴的上下两侧

既然函数曲线是连续不断的

则意味着曲线从一个端点延伸到另一个端点时

必然穿越x 轴

与x 轴相交

那么在x轴上的交点就是函数的零点

下面我们看一个例子

例1 证明方程eˣ-3x=0

在(1,2)内至少有一个实根

根据零点定理

这个题目的关键就是寻找零点

从而就是要在区间(1,2)内找两个点

使得函数值异号

为什么说要在区间内找呢

注意到当函数在某个区间内有零点时

有时函数并不一定

恰好在给定的区间端点函数值异号

事实上

只有在区间内存在两个点

使得函数值异号即可

当然我们还是要先观察给定区间的端点函数值的符号

如果给定区间的端点函数值不是异号的

或者符号不明显

我们再在区间内寻找

设f(x) =eˣ-3x

则f(x) 在[1,2]上连续

我们先观察区间的端点

f (1)=e-3＜0

f(2)=e²-6＞0

这样函数满足零点定理的条件

所以函数在区间(1,2)内存在零点

也就是说

方程至少有一个实根

我们再看一个例子

设函数f(x) 在闭区间[a,b]上连续

且f(a)＜a f(b)＞b

证明存在ξ∈(a,b) 使f(ξ)=ξ

这个题目不是求零点

但是我们可以把问题转化为零点的问题

把结论变为f(ξ)-ξ=0

这样问题就变成了函数f(x)-x 的零点问题了

因此令 F(x) = f(x) - x

根据零点定理

只要验证函数F(x) 满足零点定理的条件即可

由于f(x) 在区间[a,b]上连续

从而F(x) 也在区间[a,b]上连续

F(a) = f (a) - a

由已知条件 f(a) ＜ a

可知 F(a) ＜0

同理可知 F(b)=f(b)-b>0

这样函数F(x) 满足零点定理的条件

从而存在ξ∈(a,b) 使得

F(ξ ) = f(ξ) - ξ=0 结论得证

最后我们做个小结

今天主要讲了两点

最值定理和介值定理及应用

今天就讲到这里

谢谢

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

2.6.5 最值定理及介值定理笔记与讨论

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