4.2.1 洛必达法则--0/0型在线视频

同学们好

今天我们来学习一个新的求极限的工具

洛必达法则

在前面

我们学习极限的运算时就知道

在比式极限中有些情形的极限是确定的

比如分子是常数极限

分母是无穷大量

那么它就一定是个无穷小量

这种情况

我们称为确定型极限

但也有些情形的极限是不确定的

比如分子分母都是无穷小量

或都是无穷大量

这种情况我们称为不定型

这种不确定型极限是我们学习的重点

在这里

为简单起见

当分子分母都是无穷小量时

我们称之为零比零型极限

当分子分母都是无穷大量时

我们称为无穷比无穷型极限

下面我们将要学习的洛必达法则

就是解决这两种不定型极限的有力工具

今天我们先学习第一种情形

零比零型

我们先看零比零型洛必达法则的内容

设函数f(x)和g(x)

满足条件（1）

limx→a f(x)=limx→a g(x)=0

（2）在点a的某空心邻域内可导

且g'(x)≠0

（3）limx→a f'(x)/g'(x)=A

或者无穷大量

则有limx→a f(x)/g(x)=A或无穷大量

注意定理中

自变量的运动方式

可以是我们前面学习过的六种情形的任意一种

从定理的内容可以看出

比式极限limx→a f(x)/g(x)是等于limx→a f'(x)/g'(x)的

但是要注意二者之间的一个成立关系

就是说只有在极限limx→a f'(x)/g'(x)

存在或为无穷大量时

极限limx→a f(x)/g(x)

才等于limx→a f'(x)/g'(x)

否则

二者之间是什么关系

定理并没有告诉这一点

事实上

当极限limx→a f'(x)/g'(x)不存在

也不为无穷大量时

极限limx→a f(x)/g(x)也可以存在

也可以不存在

这个在后面的例题中

我们会看到

以往同学们在应用这个定理时

容易犯的错误就是误以为极限

limx→a f'(x)/g'(x)

决定了极限

limx→a f(x)/g(x)

注意这个决定是有条件的

下面我们来简单证明一下定理

为了简单

我们仅就x→a⁺情形给出证明

因为函数在一点处的极限与

此点的函数值无关

我们先补充定义

f(a)=g(a)=0

这样使得函数f(x)和g(x)在区间

[a,x]上满足柯西定理的条件

其中

x＞a

对于函数f(x)和g(x)

在区间[a,x]上

运用柯西定理可以得到

f(x)/g(x)=[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)

a＜ξ＜x

当x→a⁺时

有ξ→a⁺

所以上式两端同时取极限便有

limx→a⁺ f(x)/g(x)=limξ→a⁺ f'(ξ)/g'(ξ)

等于limx→a⁺ f'(x)/g'(x)=A或∞

这样就完成了定理的证明

下面我们来看几个例子

通过例子来学习如何运用洛必达法则求极限

先看例1

limx→1 (x⁴-5x+4)/(x²+2x-3)

可以看出这是一个零比零型的极限

利用洛必达法则分子分母同时求导数

注意是分子分母分别求各自的导数

不是除法的导数 可得下面的极限

limx→1 (4x³-5)/(2x+2)=-1/4

我们回顾一下

原来我们是用什么方法求这个极限的

因为分母的极限为零

所以不能用极限的除法规则

所以我们通过分解因式

用消零因子的方法

使得分母不再有零因子

从而可以用极限的除法规则

所以有原式等于

limx→1 [(x-1)(x³+x²+x-4)]/[(x-1)(x+3)]=-1/4

对比一下

我们发现

洛必达法则更方便快捷

避免了因式分解的过程

而我们知道

对高次多项式的因式分解

往往有一定的技巧性

下面我们一起做个课堂练习

limx→1 (x³-3x+2)/(x³-x²-x+1)

分子分母分别求导数得

limx→1 (3x²-3)/(3x²-2x-1)

这个仍然为零比零型的极限

继续使用洛必达法则

得limx→1 6x/(6x-2)=3/2

通过这个练习

我们发现洛必达法则可以多次使用

同时也要注意

如果不满足零比零型这个条件

使用洛必达法则的话将得到错误的结论

比如对极限

limx→1 6x/(6x-2)

使用洛必达法则

将会得到1这个错误答案

因为此时已经不是零比零型的极限了

请同学们在实际做题过程中

注意不要犯此类错误

下面我们再看例2

limx→0 ｛[(1+x)^α]-1｝/x

其中α≠0

很显然

这也是一个零比零型的极限

利用洛必达法则

分子分母同时求导数得

limx→0 [α(1+x)^(α-1)]/1=α

回顾前面我们是怎样求这个极限的

我们是用变量代换

即等价无穷小代换求极限的

令[(1+x)^α]-1=t

则αln(1+x)=ln(1+t)

当x→0时 t→0且有

ln(1+x)与x是等价无穷小量

通过代换

我们有原式等于limx→0 [(1+x)^α-1]/ln(1+x)

等于limt→0 α·t/ln(1+t)=α

通过这个例子

我们再一次看到

洛必达法则确实比传统的方法方便

并且通过这个例子

我们也得到一个有用的等价无穷小量

当x→0时

(1+x)^α-1

与αx是等价无穷小量

再看例3

limx→+∞ (π/2-arctanx)/sin(1/x)

这也是一个零比零型的极限

可以看出

以前的方法都不能解决这个极限了

下面我们用洛必达法则求解

在求导数之前

我们先对分母进行等价无穷小的代换

把sin(1/x)代换成1/x

这样求导数可以简洁一些

接下来再对分子分母同时求导数

原式等于limx→+∞ [π/2-arctanx]/(1/x)

等于limx→+∞ [-1/(1+x²)]/(-1/x²）

化简得

linx→+∞ x²/(1+x²)=1

通过这个题目

我们要注意到在使用洛必达法则时

适当结合等价无穷小代换

会使计算过程更简洁一些

看最后一个例子

limx→0 [e-(1+x)^(1/x)]/x

由重要极限知道

这是一个零比零型的极限

对分子分母分别求导数时要注意到

分子还有一个幂指函数

注意回顾幂指函数的求导方法

我们可以得

原式等于limx→0 ｛(1+x)^(1/x)[(1+x)ln(1+x)]-x｝/[x²(1+x)]

注意到此时表达式中

(1+x)^(1/x)

和1+x极限都不为零

我们称为非零因子

它们对整个函数的极限存在与否

没有影响

因此

利用极限的乘法规则

我们把它们分离

limx→0 [(1+x)^(1/x)]/(1+x)

乘以limx→0 [(1+x)ln(1+x)-x]/x²

接下来

我们再对第二个极限使用洛必达法则

可得elimx→0 ln(1+x)/(2x)=e/2

通过这个例子

我们注意到在利用洛必达法则时

及时对非零因子进行分离

可以大大简化我们的计算过程

最后

我们给大家留个习题

供大家课后练习

今天就讲到这里

谢谢