5.2.1 第一换元积分法（一）在线视频

第四讲

不定积分的第一换元积分法

也就是凑微分法

前面我们介绍了不定积分的性质和直接积分法

我们可以计算一些简单函数的不定积分

但是面对非简单函数的不定积分

我们需要讨论其他的计算方法

下面来介绍不定积分的

第一换元积分法也即是凑微分法

我们先来思考sin2x的不定积分

我们已知sinx的原函数为-cosx

那么sin2x的原函数是否为-cos2x呢

可以验证此猜测不正确

因为后者的导数不等于sin2x

为此我们把sin2x不定积分

变形为1/2∫sin2xd(2x)

再令2x=u

从而得到新积分1/2∫sinudu

原函数为负的二分之一cosu+C

换回原变量得函数负二分之一cos2x加C

可以验证此函数即为原不定积分

同理也可将此不定积分

变形为2∫sinxcosxdx

进而变为2∫sinxd(sinx)

再令sinx=u

从而得到新积分2∫udu

不定积分为 u²+C

换回原变量得函数sin²x+C

即为原不定积分

由上例的积分过程可总结得到更一般积分过程

称为凑微分法（或第一换元积分法）

步骤如下

当我们面对求∫f(x)dx时

如果能选定某个函数φ(x)

把所求积分变形为

∫g[φ(x)]φ'(x)dx

即变形为

∫g[φ(x)]dφ(x)

把φ(x)变为新变量u

得到函数g(u)的不定积分∫g(u)du

积分得G(u)+C

再将变量u换回φ(x)

即得函数G[φ(x)]+C

可以证明此函数即为所求的原不定积分

为了更好的使用凑微分法

请同学们记住下面的常用的凑微分公式

是

dx=1/k d(kx+b)

xdx=1/2 dx²

1/√x dx=2d√x

1/x² dx=-d 1/x

1/x dx=d ln| x|

sinx dx=-d cosx

cosx dx=dsinx

1/(1+x² ) dx=darctanx

后面

1/√(1-x²) dx=darcsinx

sec²xdx=dtanx等等

接下来我们讨论用凑微分法

计算不定积分的例子

先来看例1

计算不定积分

∫1/(3+2x) dx

将dx变为

d(3+2x)的1/2倍

即原积分变形为

1/2 ∫1/(3+2x) d(3+2x)

再把3+2x设为新变量u

从而该积分化为1/2 ∫1/u du

其不定积分为1/2 ln|u|+C

再把变量u换回原变量3+2x

即得所求不定积分1/2 ln|3+2x|+C

再看例2

求不定积分

∫(ax+b)¹⁰⁰dx

此a不等于0

将dx变为d(ax+b)的1/a倍

原积分变形为

1/a ∫[(ax+b)¹⁰⁰ ] d(ax+b)

再把ax+b设为新变量u

从而该积分化为1/a ∫u¹⁰⁰du

其不定积分为1/101a u¹⁰¹+C

再把变量u换回原变量ax+b

即得所求不定积分为1/101a (ax+b)¹⁰¹ +C

一点说明

当我们熟练掌握了凑微分法后

我们可以省去其中在第二步、第四步和第五步

即直接

把求小f（x）的不定积分

变形为∫[g[ϕ(x)]dϕ(x)]

再把其中的ϕ(x)想象成一个新的变量u

但不写出来

从而在大脑里面把不定积分

∫g[ϕ(x)]dϕ(x)

就想像成不定积分∫g(u)du也不写出来

再想象其原函数为G(u)+C

而其中的u就是ϕ(x)

所以即得原不定积分为G[ϕ(x)]+C

由此可知

该方法最重要的步骤是凑成微分的形式

而不强调换成新变量

故称其为凑微分法

再看例3

求不定积分∫x√(1-x² ) dx

将其变形为-1/2 ∫√(1-x²) d(1-x²)

把其中的所有的1-x²想象成新变量u

从而该积分就为

以u为积分变量的二分之1次幂函数的积分

由积分基本公式写出其不定积分

得-1/3(1-x²)^(3/2)+C

下面看例4

求积分∫(sin√x/√x) dx

将根号x分之dx凑成√x微分的2倍

从而原不定积分变形为2∫sin√x d√x

把根号x视为一个新变量

积分得-2 cos√x+C

再看例5

求不定积分∫1/(x(1+2 lnx)) dx

将其变形为∫1/(1+2 lnx ) d(lnx)

再变形为1/2 ∫1/(1+2 lnx ) d(1+2 lnx)

把其中所有的1+2 lnx看成新变量

代积分公式即得1/2 ln| 1+2 lnx |+C

例6

计算积分∫1/(a²+x² ) dx

我们把被积函数的分母中的a²作为因子提出来

得积分形式1/a²∫1/(1+(x/a)² ) dx

再把积分号外面的因子1/a移到积分号里面与dx凑成d(x/a)

从而把原积分变形为1/a ∫1/(1+(x/a )²) d(x/a)

将x/a视为新变量

积分得1/a arctan(x/a)+C

即为所求的不定积分

例7

计算积分∫1/√(a²-x²) dx

将被积函数中根号里的a²提出来

开根号后

再乘以分子中的dx变为x/a的微分

从而原积分变形为∫1/√(1-(x/a )² ) d(x/a)

再把x/a视为新变量

由凑微分法积分得所求不定积分为

arcsin(x/a)+C

上面例6和例7的结果都是不定积分的重要公式

请大家一定要牢记

并能熟练应用

例8

求不定积分∫1/(x²-a²) dx

把被积函数的分母分解因式

再把被积函数变形为两个一次因式的

倒数的差的2a分之1倍

进而原积分变形为

1/2a ∫(1/(x-a)-1/(x+a))dx

变形为

1/2a [∫1/(x-a) d(x-a)-∫1/(x+a) d(x+a)]

用凑微分法积分得

1/2a(ln|x-a|-ln|x+a|)+C

再化简得

1/2a ln|(x-a)/(x+a)|+C

这也是一个重要公式

由此易得下面的公式

∫1/(a²-x² ) dx=1/2a ln|(x+a)/(x-a)|+C

例9

求不定积分

∫tanx dx

将分母化为sinx与cosx的商

再将分子的sinxdx变成-dcosx

积分变形为-∫1/cosx dcosx

把cosx视为新变量积分即得-ln|cosx|+C

可以化简为ln|secx|+C

同理可得

∫cotx dx=ln|sinx|+C

也就是

等于-ln|cscx|+C

例10

求不定积分

∫secx dx

先把secx变为cosx分之1

再分子分母同乘以cosx

从而原积分变形为

∫cosx/cos²x dx

进而变形为∫1/(1-sin²x ) dsinx

把我们的sinx看成新变量

再利用前面例8的结论

可得

不定积分为

1/2 ln|(1+sinx)/(1-sinx )|+C

再变形为

1/2 ln|((1+sinx )²)/cos²x|+C

最后化为ln|secx+tanx|+C

类似的可得

∫cscx dx=ln|cscx-cotx|+C

由上述例6至例10的计算结果

可得到如下的新的基本积分公式

请大家一定要记住

能够熟练应用

小结

本讲介绍了不定积分计算的第一换元积分法

也即是凑微分法

以及部分例子

获得了部分不定积分的基本公式