当前课程知识点:微积分I > 第二章 极限与连续 > 2.6 函数的连续性 > 2.6.2 第一类间断点
同学们好
前面我们学习了函数的连续性
今天我们来学习
连续的对立面不连续
我们称为间断
通过对间断的学习
我们可以更好地理解连续
由定义我们把函数不连续的点称为间断点
直观的说
在间断点处函数的图形是断开的
那么如何在数学上比较精确地刻画间断点呢
回顾前面连续的定义
如果函数在某点处连续
则要同时满足下面三个条件
(1)f(x)在x₀处有定义
即f(x₀) 存在
(2)极限limx→x₀ f(x)存在
(3)函数值与极限值相等
由此间断点的特点就是至少不满足上述三个条件之一
根据上述特点
间断点的情形是比较复杂的
下面我们分类来学习间断点的情形
首先我们先学习第一类
我们认为虽然是间断
但断的不是很厉害的间断点
先看第一种
我们称为可去间断点
它的定义是这样的
如果f(x)在点x₀处的极限存在
但lim x→x₀ f(x)≠f(x₀)
或f(x)在点x₀处无定义
就称点x₀为函数f(x)的可去间断点
由定义知
可去间断点满足了连续定义的条件(2)
但可能不满足连续定义的条件(1)或(3)
为什么说这种间断点直观看起来断的不是很厉害呢
我们从下面例子可以知道
讨论函数f(x)
当0≤x<1 等于2√x
当x=1 f(x)=1
当x>1 等于1+x
在x=1处的连续性
这是一个分段函数
1是他的分界点
我们也用前面的方法
利用左右极限来讨论该点的连续性
首先求出该点的函数值
f(1)=1
再看左极限
limx→1⁻ f(x)=limx→1⁻ ( 2√x)=2
再看右极限
limx→1⁺ f(x)=lim x→1⁺ (1+x)=2
因此
函数在该点极限存在
且等于2
又因为函数在该点的函数值等于1
所以极限值不等于函数值
所以函数在该点不连续
根据可去间断点定义
此点为可去间断点
注意可去间断点
只有改变或者补充间断点处函数的定义
则可使其变为连续点
所以我们也称可去间断点为假性间断点
这也是可去间断点这个名称的由来
从函数图形上看
可去间断点确实符合我们所说的
断的不厉害这个特点
我们再看一种间断点
我们称为跳跃间断点
先看定义
如果f(x)在点x₀处左右极限都存在
但lim x→x₀⁻ f(x)≠lim x→x₀⁺ f(x)
则称点x₀为函数f(x)的跳跃间断点
也就是说
跳跃间断点的特征是
函数在该点的左右极限都存在且不相等
而可去间断点是左右极限都存在
但是相等
由此可见
跳跃间断点要比可去间断点
断得要稍微厉害一点
看下面的例子
例2
讨论函数f(x)
当x≤0时 等于-x
当x>0时 等于1+x
在x=0处的连续性
从上面的做法一样
也分左右极限来看
左极限
limx→0⁻ f(x)=limx→0⁻ (-x)=0
右极限
limx→ 0⁺ f(x)=limx→ 0⁺(1+x) =1
所以左右极限不相等
所以为跳跃间断点
从函数图形上看
函数图形在0点确实断开了
而且是一种错位的断开
不可能像
可去间断点一样
通过重新定义该点的函数值
使之变得连续
所以跳跃间断点
确实比可去间断点
断得要稍微厉害一点
我们把可去间断点和跳跃间断点
这两种从图形上看起来断得不是很厉害的两种点
统称为第一类间断点
归结为一句话
左右极限都存在的间断点
称为第一类间断点
最后我们做个小结
今天主要讲了两点
可去间断点与跳跃间断点
今天就讲到这里
谢谢
-1.1 预备知识
--1.1.2本节作业
-1.2 函数的概念
--1.2.2 本节作业
-1.3 函数的基本特性
--1.3.2 本节作业
-1.4 反函数与复合函数
--1.4.2 本节作业
-1.5 基本初等函数与初等函数
--1.5.2 本节作业
-1.6 经济学中几个常见的函数
--1.6.2 本节作业
-第一章单元练习
--习题训练
-2.1 数列的极限
--2.1.3 本节作业
-2.2 函数的极限
--课堂思考
--2.2.4 本节作业
-2.3 无穷小量与无穷大量
--课堂思考
--2.3.4 本节作业
-2.4 极限的性质
--课堂思考
--2.4.4 本节作业
-2.5 两个重要极限
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--2.5.9 本节作业
-2.6 函数的连续性
--课堂思考
--2.6.6 本节作业
-第二章单元练习
--习题训练
-3.1 导数的概念
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.1.7 本节作业
-3.2 求导法则
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--课堂思考(三)
--3.2.8 本节作业
-3.3 高阶导数
--3.3.3 本节作业
-3.4 函数的微分
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--3.4.8本节作业
-3.5 导数与微分的简单应用
--3.5.4本节作业
-第三章单元练习
--习题训练
-4.1 中值定理
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.1.7 本节作业
-4.2 洛必达法则
--课堂思考
--4.2.4 本节作业
-4.3 函数的单调性与极值
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--4.3.5 本节作业
-4.4 函数的最值及应用
--4.4.3 本节作业
-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点
--课堂思考
--4.5.4 本节作业
-4.6 函数的微分法作图
--课堂思考
--4.6.5 本节作业
-第四章单元练习
--习题训练
-5.1 不定积分的概念与性质
--5.1.4 本节作业
-5.2 换元积分法
--课堂思考(一)
--课堂思考(二)
--5.2.5 本节作业
-5.3 分部积分法
--课堂思考
--5.3.2 本节作业
-5.4 有理函数的积分
--5.4.3 本节作业
-第五章单元练习
--习题训练