2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用在线视频

同学们好

通过前面的学习

我们已经知道

在定义域内点点连续的函数称为连续函数

在数学研究中

连续函数具有很多优良的性质

我们后面的学习会遇到大量的连续函数

今天我们学习连续函数的运算性质

基本的大概有三个方面

一个是四则运算

第二个是复合运算

再一个是反函数的连续性

当然随着后续课程的展开

还有一些连续函数的非初等运算

这是后话暂且不提

下面我们学习第一个四则运算

若函数f(x) g(x) 在点x₀处连续

则f(x)±g(x)

f(x) ·g(x)

f(x)/g(x) (g(x₀) ≠0)

在点x₀处也连续

这个定理告诉我们

连续函数参加四则运算所得到的函数

在其定义域内仍是连续函数

前面我们利用函数的定义

证明了正弦函数在定义域内点点连续

从而sinx是连续函数

同理

我们也可以利用定义证明

余弦函数cosx也是连续函数

而正切函数tanx和余切函数cotx

以及正割 余割函数都是正弦函数

和余弦函数通过四则运算得来的

从而都是连续函数

从而我们得到三角函数

在其定义域内都是连续的

上述关于连续函数的四则运算性质

我们利用极限的四则运算性质

很容易得到证明

留做课后思考题

大家去思考

下面我们看连续函数的复合运算性质

设函数u=φ(x) 在点x=x₀连续

且φ(x₀)=u₀

而函数y=f(u)在点u=u₀连续

则复合函数y =f[φ(x)] 在点x=x₀也连续

简短一句话来说

就是连续函数

与连续函数的复合所得到的函数仍为连续函数

这个定理的证明

比较多的用到了函数极限的分析定义

此处略去

有兴趣的同学可以参看数学分析方面的教材

注意到这个性质告诉我们

连续函数与其极限运算可以交换次序

以上面定义里面的函数记号为例

由于复合函数是连续的

所以limx→x₀

limx→x₀ f[φ(x)] =f(u₀)

又因为内层函数也是连续的

所以u₀就等于内层函数φ(x)在x₀点处的极限

所以原极限就又等于f[limx→x₀ φ(x)]

这就意味着极限运算与连续函数运算f交换了次序

事实上这个极限运算与连续函数运算f 交换秩序

不需要内层函数在x₀点连续

只需要内层函数φ(x) 在x₀点处的极限存在就可以

也就是说

若limx→x₀ φ(x) =a

并且函数f 在a 点连续

令u=φ(x)

显然

当x→x₀时u→a

就有limx→x₀

limx→x₀ f[φ(x)] =lim u→a f(u)=f(a)=f[lim x→x₀ φ(x) ]成立

这个性质在求极限时经常用到

后面我们会讲到

下面我们再看反函数的连续性

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数

例如y=sinx 在[-π/2, π/2]上单调增加且连续

故y=arsinx 在[-1,1]上也是单调增加且连续

同理y=arcosx 在[-1,1]上单调减少且连续

y=arctanx y=arccotx

在负无穷到正无穷上单调且连续

因此

反三角函数在其定义域内皆连续

关于这个定理的证明

我们给出下面一个分析意义上的证明

设y=f(x) 严格单调增加

这有反函数性质知

其反函数x=f⁻¹ (y) 也严格单调增加

任取一点y₀ 有x₀等于f⁻¹ (y₀)

对于∀ε>0

当x₀-ε＜x＜x₀+ε

由y=f(x) 的严格单调知

f(x₀-ε)＜f(x) ＜f(x₀+ε)

取δ=min｛f(x₀+ε) - f(x₀）f(x₀) - f(x₀-ε)｝>0

因此

∀ε>0

当|y-y₀| = |f(x) - f(x₀)|＜δ时

有|x-x₀|＜ε

从而x=f⁻¹ (y)在y₀连续

对于五种基本初等函数的连续性

我们已经知道了三角函数

及反三角函数在它们的定义域内是连续的

对于指数函数 y=aˣ

我们利用极限的分析定义及连续的定义

可以证明指数函数在其定义域内是连续的

这里我们不再给出

有兴趣的同学可以课下进行

对于对数函数y=log aˣ

由于他是指数函数y=aˣ的反函数

所以它在定义域内也是连续的

对于幂函数y=x的μ次方

我们可以做一个变化

把它变成指数函数和对数函数的复合函数

即如下变换y=x的μ次方

等于a ^(μlogaˣ)

这样幂函数可以看作

指数函数y 等于a的u次方和对数函数

u=μlog aˣ的复合函数

根据连续函数的复合运算性质

可知幂函数y=x的μ次方

在其定域内是连续的

综合上面的讨论

我们得到所有基本初等函数

在其定义域内都是连续的

又由于初等函数是基本初等函数

经过有限次四则运算和复合运算得来的

所以一切初等函数在其定义域内都是连续的

这个结论对于我们而言就很方便了

因为我们以后的学习遇到的函数

绝大多数都是连续函数

而连续函数随着课程的进行

我们会发现他有很多良好的性质

这就对于我们的学习带来很大的方便

接下来我们学习一点

关于利用连续函数的性质求极限的知识

首先根据连续函数的定义

如果函数f(x) 在点x₀连续

这有lim x→x₀ f(x)=f(x₀)

x₀属于定义区间

所以当我们已知某个函数是连续函数时

如果要计算函数在此点的极限

由上式

只需要求出函数在该点的函数值即可

就是我们说的代入法

比如下面的例子

求lim x→1 sin√(eˣ-1)

由于该函数是三角函数

幂函数及指数函数的减法运算

及复合运算得来的

所以是个初等函数

从而在定义域内连续

又由于函数在1是有定义的

所以在1点连续

所以函数在1点的极限就等于1点的函数值

所以只需要求出该点的函数值即得极限

所以原式等于sin√(e-1)

其次

有些极限的计算

我们需要用到前面讲过的

极限与连续函数的可交换性

即lim x→x₀ f[φ(x)] = f(u₀) = f[lim x→x₀φ(x)]

我们看下面的例子

求lim x→0 [ln(1+x)]/x

通过对数的性质我们有

原式等于limx→0 ln(1+x)¹/ˣ

由于对数里面的极限等于e

而对数函数在e处是连续的

所以极限运算可以和对数运算交换次序

得

ln [lim x→0 (1+x)¹/ˣ]=lne=1

这个极限我们在前面的课程中学习过的

不过当时这样做看似是正确的

但是没有理论依据

也就是说

我们是直接求了对数里的重要极限

但是为什么可以这么做

今天才有了理论依据

最后我们做个小结

今天主要讲了两点

连续函数的运算性质

及利用连续函数计算极限

今天就讲到这里

谢谢