3.2.1 导数的四则运算（1）在线视频

大家好

这一节课

我们来学习函数求导的四则运算法则中的前两个法则

首先给出函数线性组合时的函数的求导法则

设u=u(x) v=v(x)

在x处可导

则u+v

和a倍u （其中a为常数)

均可导

且有 和差的导数等于分别取导数作和差

下面我们来看证明

在证明中展示的只有加号的形式

由导数的定义

要计算(u+v)和的导数

需要计算当Δx→0时

函数值的改变量与Δx比值的极限

所以

我们先计算极限符号中的分子

也就是函数值的改变量

我们写出来是

[u(x+Δx)+v(x+Δx)]-[u(x)+v(x)]

注意到这里分母是Δx

接下来我们把分子的括号打开

重新组合一下

写出来是这个式子

然后

再把极限表达式裂开成两项

得到下面这一个表达式

根据已知条件

u=u(x) v=v(x) 在x处是可导的

而这两个极限正好是这两个已知函数的导数

所以极限就等于u'(x)+v'(x)

接下来来看第二条

一个常数乘以一个函数求导数

就等于把这个常数直接提到导数符号外面

就等于a·u'

其证明仍然是用导数的定义

由于a是常数

所以把常数提到极限符号外面

用导数的定义

我们就可以完成这个证明了

综合刚才得到的公式(1) (2)有

(au+bv)'=au'+bv'

其中 a b为常数

我们把这条性质称为导数的线性性

更进一步

把这条性质推广到有限个函数的情况

我们得到

(a₁·u₁+a₂u₂…aₙ·uₙ)'=a₁·u₁'+a₂u'₂…aₙ·uₙ'

其中a₁ a₂一直到aₙ为常数

下面用例题来演练一下

例题1

求函数y=3x³+2x²-5x+4sinx的导数

根据性质

和差的导数等于分别取导数作和差

所以y的导数就等于每一项分别求导数

所以

运用导数公式

x³的导数为3x²

x²的导数为2x

5x求导等于5

sinx的导数是cosx

再分别乘以原有的系数计算得到的结果是

9x²+4x-5+4cosx

再来看例题2

求函数y=3x²+4lnx-5cosx的导数

应用求导数的公式和法则

这个例题的答案我们容易得到

y'=6x+4/x+5sinx

来看规则二

函数乘积的导数

设u=u(x) v=v(x) 在x这一点处可导

则u·v也是可导的

且有乘积的导数等于先对第一个因式求导

第二个因式不动

加上第一个因式子不动第二个因式的导数

也就是(uv)'=u'v+uv'

证明仍然用导数的定义

首先计算Δy

Δy等于

我们对这一个式子做恒等变形

我们给它减去一个u(x)·v(x+Δx)

减掉它以后再加回来

再给它加一个u(x)·v(x+Δx)

所以做的是恒等变形

对做恒等变形以后的式子里面

从第一个方括号中提取公因子v(x+Δx)

第二个方括号中提取公因子u(x)

由增量的定义

可以把Δy化简为

Δu·v(x+Δx)+u(x)·Δv

下面来计算变化率的极限

即Δy/Δx

当Δx→0的时候的极限

把刚才计算好的

Δy的表达式代入并利用极限计算准则

所以u·v的导数就等于

每一个式子分别取极限

注意

根据已知条件

v(x)可导

所以必然是连续的

故Δx→0的时候

v在x+Δx这一点处的值就等于v(x)

所以 上面的极限式子

计算的结果就是

u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

现在

我们得到了今天的第二个求导法则

函数乘积的求导法则

(u·v)'=u'v+uv'

这个公式我们常常用下面的比喻来帮助记忆

一个家庭有u和v两个兄弟

现在两兄弟淘气

犯了错误

要挨打

我们先把哥哥u打一顿

弟弟v就在旁边陪着

完了 为了以示公平

再把弟弟v也打一顿

哥哥在旁边陪着

函数乘积的求导法则

可以推广到有限多个函数的乘积

所以我们就得到下面这一个公式

u·v·w三个因式乘积的导数

等于第一个因式先求导

另外两个因式不动

加上第二个因式v求导

u和w不动

再加上第三个因式w求导

而u和v不动

这个结论的证明

只需要把u·v看成是一项就可以得到了

我们来看它的证明

我们把u·v看成是一项

就等于u·v的导数乘w

加上u·v不动w的导数

前面的这个u·v的导数

再用刚刚得到的乘积的求导法则展开

然后用乘法分配律

所以我们的证明就完成了

下面来看乘积的求导法则的应用

例题3

求下列函数的导数

第一个

y=x²·3ˣ

利用乘积的求导法则

由于函数有两个因式

所以y的导数就等于先对x²求导

就等于2x

第二个因式不动

3ˣ不动

加上x²不动乘以3ˣ的导数

就是3ˣln3

再来看第二个

y=x²·(eˣ)cosx

注意到函数有三个因式

用推论可以得到

我们的求导结果应该有3项

即分别对表达式中的三个因式求导

而其余两个因式都不变

所以我们的结果为这一个式子

最后看一个复杂一点的例题

第三个

f(x)=(x-1)·(x-2)·(x-3).....(x-50)

求f的导数在x=2这一点处的值

从前面的例题可以看出

由于f(x)是五十个因式的乘积

所以如果用推论来做

f(x)的导数就有五十项

我们写出导数表达式中对第二个因式(x-2)求导

而其余因式不变的那一项

注意

(x-2)求导数是1

其余的因式不变

所以我们的f'(x)写出来是这一个式子

观察问题

注意到

要求的是f'(2)

而f(x)的导数的表达式当中

除了我们写出的这一项不含有因式(x-2)

其余的导数表达式里面

其余的49项中都必然含有因式(x-2)

所以把x=2代入以后

这些项都是0

f'(2)我们把x=2代进去

不为零的项就只有我们写出的这一项

(x-1)·(x-3)·(x-4).....(x-50)

把x=2代进去就是

-48 -47 -46

一直到-1

所以写出来就是48！

对这个例子

我们也可以用导数的定义来处理

由于f'(2)=(f(x)-f(2))/(x-2)

让Δx→2取极限

而分子当中的f(2)=0

把f(x)的表达式代进去

所以f'(2)

它的表达是我们写出来就是这样的一个分式

我们从这个分式中把因式x-2约掉

约掉就得到了下面的这49个因式的乘积

Δx→2 (x-1)·(x-3)·(x-4)......(x-50)

将x=2带入同样可以得到

f在x=2这一点处的导数

等于48！

下面

小结一下今天的内容

今天主要讲了前两个求导法则

即函数和差的导数

等于分别求导数再取和差

以及乘积的求导法则

(u·v)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

要特别注意的是

(u·v)的导数不等于u的导数

直接去乘上v的导数

商的求导法则

我们将在下一讲展开

谢谢大家