2.2.2 函数在一点处的极限定义在线视频

同学们

上一次我们介绍了函数在无穷远处的极限定义

今天我们将学习函数

在一点处的极限定义

函数y=f(x)在一点x₀处

实际有两个不同的值的概念

一个是函数在点x₀处的函数值

另一个是函数在x₀处的极限值

y=f(x)在点x₀处的函数值

是指当自变量x 取确定值x₀时

因变量的值y₀=f(x₀)是多少

它反映因变量y按对应法则f的变化结果

y=f(x)在x₀处的极限值

是指当变量x趋向于确定值x₀时

因变量

y按对应法则f的变化趋势

下面我们来看函数

在一点处极限的描述性定义

对于函数y=f(x)

如果当自变量x的变化

趋向于某一定值x₀时函数值

f(x)的变化无限接近于某个常数A

就称当x→x₀时函数

y=f(x)以A为极限

或常数A是函数y=f(x)

当x→x₀时的极限

记作lim f(x)

x→x₀等于A

或x→x₀时f(x)→A

在这里我们需要注意极限值

与函数值是两种不同性质的值的概念

这两种值是相互独立的

一般情况下二者独立存在

彼此没有直接联系

1 有的函数值不存在但极限值存在

例函数 v(t)=2(t²-t)/(t-1)

在点t₀=1没有函数值

但却有极限值

即有

lim t→1 V(t)=lim t→1 2(t²-t)/(t-1)=2

2 有的极限值不存在

但是函数值存在

例函数y=f(x)在x≠0的时候为sin(1/x)

而x=0的时候 函数值为零

该函数在点x=0处的函数值为 f(0)=0

但它在x₀ =0处的极限值却不存在

3 极限值函数值均存在

但是二者可能不相等

例如函数y=g(x)

在x≠1的时候

为 2(x² -x)/(x-1)

在x=1的时候

函数值为1

该函数在x₀=1处的函数值为g(1)=1

在点x=1处的极限值

等于lim x→1 g(x) =lim x→1 2(x²-x)/(x-1)=2

在点x₀=1处函数值和极限值都存在

但是二者并不相等

另外函数的描述性定义是不够严谨的

它存在这样的两个问题

问题 1

究竟什么叫x→ x₀时后 f(x)→A

由数列极限的讨论可以推知

x→x₀ f(x)→A的意义是指

对任意小的ε随着x的变化

当x和x₀

接近到一定程度后最终

可使的|f(x)-A|＜ε

问题 2

是 “一定程度” 究竟是什么样的一种程度呢

事实上我们可以推想

所谓当x和x₀接近到一定程度后

有|f(x)-A|＜ε

其中的一定程度意义

实际上是指的

对任意小的ε

可以找到一个和ε相关的某个正数

用以刻画|f(x)-A|＜ε 时

x与x₀所需接近的程度

若用δ来表示这一正数

则为了使|f(x)-A|＜ε

相应的x与x₀的接近程度可以表示为

0＜|x-x₀|＜δ

于是

函数在一点x₀处极限的叙述当中

当x→x₀的时候

f(x)→a的意义就是指

对于任意小的ε

总存在这样的一个正数δ

使得当x满足0＜|x-x₀|＜δ 的时候

总有|f(x)-A|＜ε

这里的正数δ定量地

表达了x和x₀接近到何种程度时

就会有|f(x)-A|＜ε

所谓当x和x₀接近到一定程度

实际上是

通过δ的具体数字来体现的

因此

能否确定这样的正数δ

或这样的正数δ是否存在

就是函数y=f(x)在x₀处

的极限是否存在的关键

这就有了函数

在一点处极限的精确定义

设函数f(x)在点x₀的某个去心邻域内有定义

如果存在常数A

对于任意给定的正数ε

无论它多么小

总存在正数δ

使得当x 满足不等式

0＜|x-x₀|＜δ 时

对应的函数值f(x)就满足

不等式|f(x)-A|＜ε

那么常数A就叫做函数f(x)

当x→x₀时候的极限, 记作lim x→x₀ f(x) =A

或x→x₀时f(x) →A

如果这样的常数不存在

那么称x→x₀时

f(x)没有极限或者lim x→x₀ f(x) 不存在

这个定义也叫做ε–δ定义

下面使用ε–δ定义

证明函数极限为某个定值

例 用定义证明

lim x→1 (3x+1) =4

分析用极限的ε–δ定义证明

函数y=f(x)在一点x₀处的极限

为某个值A就是对于任意给定的正数ε

要说明一定存在着正数δ

使得当0＜|x-x₀|＜δ的时候

不等式|f(x)-A|＜ε能成立

要说明这样的δ存在

最直接的办法就是将δ找出来

由于式子|f(x)-A|

是随着|x-x₀|的不断变小而逐步变小的

故可从所证的式子|f(x)-A|＜ε 出发来确定δ

归纳地看

用ε–δ定义证明函数极限为某个定值

实际上就是

对给定的ε从不等式

|f(x)-A|＜ε 出发去找出δ的过程

下面具体证明

从不等式|f(x)-A|＜ε 出发找δ

对本例

由于|f(x)-A|=|(3x+1)-4|=3|x-1|

故对任意给定的正数ε

要使得|f(x)-A|=3|x-1|＜ε

只需要

|x-1|＜ε/3

因此

取δ=ε/3

则对这个确定的δ

当0＜|x-1|＜δ=ε/3 的时候

总有|(3x+1)-4|=3|x-1|＜3δ=ε

由极限定义可知

lim x→1 (3x+1)=4

通常来说

由于极限证明问题

一般可按以下步骤求解

1、将|f(x)-A|

放大成|f(x)-A|≤k|x-x₀|

2、对于任意的ε有|f(x)-A|≤k|x-x₀|＜ε

解出|x-x₀|＜ε/k

3、取δ=ε/k验证

0＜|x-x₀|＜δ的时候总有

|f(x)-A|＜ε

好

下面我们总结一下

同学们

今天我们重点介绍的是函数在一点处的极限定义

并利用定义来证明极限

下次我们将介绍函数在一点处的单侧极限

好

今天就讲到这里

谢谢大家